かなり荒っぽい方法を用いてきたが，実はゼータ関数とベルヌーイ数の間には神秘的な関係があり，偶数ゼータの特殊値は

　　ζ（２ｋ）＝（−１）^k+1π^2k２^2k-1Ｂ2k／（２ｋ）！

で与えられる．

　母関数

　　Ｚ（ｘ）＝ζ（０）＋ζ（２）ｘ^2＋ζ（４）ｘ^4＋・・・＋ζ（２ｎ）ｘ^2n＋・・・については

　　（πｚ／２）ｃｏｓ（πｚ／２）／ｓｉｎ（πｚ／２）＝１−Σζ（２ｋ）ｚ^2n／２^2n-1

で与えられる．

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　左辺＝πｉｚ／２＋πｉｚ／｛ｅｘｐ（πｉｚ）−１｝＝１−Σζ（２ｋ）ｚ^2n／２^2n-1

　ベルヌーイ数は

　　ｔ／（ｅｘｐｔ−１）＝ΣＢkｔ^k／ｋ！

で定義されるから

　　πｉｚ／｛ｅｘｐ（πｉｚ）−１｝＝１−πｉｚ／２＋ΣＢk（πｉｚ）^k／ｋ！

ΣＢk（πｉｚ）^k／ｋ！＝−Σζ（２ｋ）ｚ^2n／２^2n-1

より，

　　ζ（２ｋ）＝（−１）^k+1π^2k２^2k-1Ｂ2k／（２ｋ）！

が得られる．

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