カタラン数の一般項は

　　ｃ（ｎ）＝2nＣn／（ｎ＋１）＝（２ｎ）！／（ｎ＋１）！ｎ！

であるが，この公式は母関数を用いると簡明に得ることができる．

　カタラン数の母関数を

　　Ｃ（ｘ）＝ｃ（０）＋ｃ（１）ｘ＋ｃ（２）ｘ^2＋・・・＋ｃ（ｎ）ｘ^n＋・・・

とおく．これを２乗すると

　　Ｃ（ｘ）^2＝ｃ（０）ｃ（０）＋（ｃ（０）ｃ（１）＋ｃ（１）ｃ（０））ｘ＋ （ｃ（０）ｃ（２）＋ｃ（１）ｃ（１）＋ｃ（２）ｃ（０））ｘ^2＋・・・

　ここで，

　　ｃ（０）ｃ（０）＝ｃ（１）

　　ｃ（０）ｃ（１）＋ｃ（１）ｃ（０）＝ｃ（２）

　　ｃ（０）ｃ（２）＋ｃ（１）ｃ（１）＋ｃ（２）ｃ（０）＝ｃ（３）

であるから，

　　Ｃ（ｘ）^2＝ｃ（１）＋ｃ（２）ｘ＋ ｃ（３）ｘ^2＋・・・

次数を揃えるために，両辺にｘをかけて

　　ｘＣ（ｘ）^2＝ｃ（１）ｘ＋ｃ（２）ｘ^2＋ ｃ（３）ｘ^3＋・・・

　　ｘＣ（ｘ）^2＝Ｃ（ｘ）−ｃ（０）＝Ｃ（ｘ）−１

　Ｃ（ｘ）に関する２次方程式を解いて，母関数は

　　Ｃ（ｘ）＝｛１−（１−４ｘ）^1/2｝／２ｘ

ここでニュートンの二項展開により，一般項

　　ｃ（ｎ）＝2nＣn／（ｎ＋１）＝（２ｎ）！／（ｎ＋１）！ｎ！

が得られる．

　なお，凸ｎ角形を対角線で三角形分割する仕方は何通りあるかという問題は，回転や反転で同型になるものを同じと数えると，

　　１，１，１，３，４，１２，２７，８２，２２８，７３３，２２８２，７５２８，・・・

となることを付記しておく．

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