２次元カタラン数は

　　2nＣn／（ｎ＋１）＝（２ｎ）！／（ｎ！）^2／（ｎ＋１）

３次元カタラン数は

　　3nＣn・2nＣn・nＣn／n+2Ｃ2・n+1Ｃ1・nＣ0＝（３ｎ）！／（ｎ！）^3・２／（ｎ＋２）（ｎ＋１）^2

ですが，

　　2nＣn・nＣn＝（２ｎ）！／（ｎ！）^2

　　3nＣn・2nＣn・nＣn＝（３ｎ）！／（ｎ！）^3

はそれぞれ中央二項係数，中央三項係数と呼ばれます．

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【１】中央二項係数

　チェビシェフは，漸近評価

　　ｃ1ｘ／ｌｏｇｘ＜π（ｘ）＜ｃ2ｘ／ｌｏｇｘ

を得るために，オイラーによって１７４０年に考案されたゼータ関数（のちにリーマンがこの名前を付けた）やガンマ関数を利用しましたが，ベルトランの仮説に対しては，ずっと簡単な証明がラマヌジャンやエルデシュ（１９３２年，１９歳）によって与えられています．

　この結果を得るのには非常に巧みな組み合わせ的推論が用いられているのですが，エルデシュはまず二項係数の中央の値

　　ｃn＝2nＣn＝（２ｎ）！／（ｎ！）^2

を考えています．

　2nＣnについては，さらに正確な評価を与える

　　２^2n／（２√ｎ）≦2nＣn≦２^2n／√２ｎ

などの評価式もしばしば使われます．また，スターリングの公式を使うとより精密な結果

　　2nＣn〜２^(2n)／√（πｎ）

が得られますが，この評価は数論，素数定理などとも関係しています．

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【２】中央三項係数

　　2nＣn＝４^n／√（πｎ）（１−１／（８ｎ）＋１／（１２８ｎ^2）＋５／（１０２４ｎ^3）−２１／（３２７６８ｎ^4）＋Ｏ｛ｎ^-5））

に対して，中央三項係数

　　（３ｎ）！／（ｎ！）^3

では

　　ｌｎ（３ｎ）！／（ｎ！）^3＝３ｎｌｎ３−ｌｎｎ＋１／２・ｌｎ３−ｌｎ（２π）＝（１／３６−１／４）／ｎ＋Ｏ（ｎ^-3）

から

　　３^3n+1/2／２πｎ（１−２／（９ｎ）＋２／（８１ｎ^2）＋Ｏ｛ｎ^-3））

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