【３】特性関数を用いた再帰確率の計算

　　Durrett: Probability: theories and examples

にある結論だけ示しますと，ｄ次元超立方格子上のランダムウォークにおいては，

　　Σｕ2n＝（２π）^(-d)∫(-π,π)Re(1-φ(t))^(-1)dt

　　　　φ(t)：特性関数φ(t)

が成り立つというものです．

　とくに，３次元の場合は，

　　Σｕ2n

　＝（２π）^(-3)∫∫∫((-π,π)ｄｘｄｙｄｚ／（３−ｃｏｓｘ−ｃｏｓｙ−ｃｏｓｚ

　＝（２π）^(-3)∫(-π,π)（１−1/3Σｃｏｓt）^(-1)dt

　＝（√6/32π^3）Γ(1/24)Γ(5/24)Γ(7/24)Γ(11/24)

　＝１．５１６３８・・・

と評価され，したがって，

　　Σｆ2n＝（Σｕ2n−１）／Σｕ2n＝１−１／Σｕ2n

　　　　　＝０．３４０５３・・・

と計算できます．

　また，

　　Kondo and Hara (1987)

の文献からｄ次元格子上における酔歩の再帰確率ｐdを引用すると，

ｄ ｐd ｄ ｐd

1 1 13 .041919

2 1 14 .038657

3 .340537 15 .035869

4 .193201 16 .033458

5 .135178 17 .031352

6 .104715 18 .029496

7 .085844 19 .027848

8 .072912 20 .026375

9 .063447 30 .017257

10 .056197 40 .012827

11 .050455 100 .005050

12 .045789

　すなわち，３次元と４次元ランダムウォークの再帰確率は，正確には，

　　0.340537329550999...

　　0.193201673224984...

です．

　再帰確率はｄが大きいほど小さくなりますが，ｄが十分に大きいとき，第１種０次の変形ベッセル関数を使って，

　　Σｕ2n＝∫(0,∞)exp(-x){I0(x/d)}^ddx

　〜　1＋2!/2(2d)+3!/2(2d)^2+4!/2(2d)^3+5!/2(2d)^4+5*71/2(2d)^5+･･･

より，

　　ｐd　〜　1/(2d){1+1/d+7/(4d^2)+35/(8d^3)+215/(16d^4)}

で漸近近似されることがその論文には記されています．

　次元数ｄが大きければ原点の戻る確率は，およそ

　　ｐd　〜　１／（２ｄ）

ですが，

　　１／２（ｄ−１）＝1/(2d){1+1/d+1/(d^2)+･･･}

ですから，式

　　ｐd　〜　１／２（ｄ−１）

は簡単な割には漸近確率をよく近似し，

　　ｐd　〜　１／（２ｄ−１）　あるいは　ｐd　〜　１／（２ｄ）

よりも外挿した際の誤差が小さいことが理解されます．

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