【２】多次元ランダムウォーク（格子上の確率論）

　引き続いて，１次元格子の代わりに多次元直交格子上の対称単純ランダムウォークを考えてみましょう．時刻０で平面上の原点から出発し，単位時刻ごとに正方格子の上下左右の４つの隣接点に等確率１／４で移動していくのが２次元対称単純ランダムウォーク，立方格子の６つの隣接点に等確率１／６で移動していく粒子の運動が３次元対称単純ランダムウォークです．

　２次元対称単純ランダムウォークで，粒子が時刻２ｎに原点にいると確率は，４項分布において，それまで上下にそれぞれｋ回，左右にそれぞれｎ−ｋ回移動した確率ですから，ｉ＋ｊ＝ｎとして

　　ｕ2n＝１／４^(2n)Σ（２ｎ）！／（ｉ！）^2（ｊ！）^2

　　　　＝１／４^(2n)（2nＣn）^2

　　　　〜　（πｎ）^(-1)

　同様に，３次元対称単純ランダムウォークでは，６項分布において，ｉ＋ｊ＋ｋ＝ｎとして

　　ｕ2n＝１／６^(2n)Σ（２ｎ）！／（ｉ！）^2（ｊ！）^2（ｋ！）^2

　　　　＝2nＣn／２^(2n)Σ（ｎ！／３^nｉ！ｊ！ｋ！）^2

　　　　〜　Ｃ／ｎ^(3/2)

　すなわち，２次元の対称単純ランダムウォークは再帰的であるのに対し，３次元対称単純ランダムウォークは非再帰的であるという結果が得られます．

　一般に，ｄ次元対称単純ランダムウォークでは，最近接の２ｄ個の点に等確率１／２ｄで移動し，ｎ→∞のとき

　　Σｕ2n　〜　２^(1-d)ｄ^(d/2)（πｎ）^(-d/2)

　したがって，ｄ次元対称単純ランダムウォークは，確率１で出発点に戻れるだろうか？　という問いに対しては，ｎ→∞のとき

　　ｕ2n　〜　２^(1-d)ｄ^(d/2)（πｎ）^(-d/2)

ですから，

　ａ）ｄ≧３のときは非再帰的であって無限の彼方へいってしまう

　ｂ）ｄ＝１，２のときは再帰的である（すべての道はローマに通ず）

ということを意味しています．しかし，再帰的とはいっても，いつかは原点に帰るということであって，その戻るまでの時間の期待値は∞です．これを零再帰的と呼び，戻れるとはいっても戻りづらいことがわかります．

　すなわち，１次元・２次元の対称単純ランダムウォークは再帰的（必ず原点に戻ってくる）であるのに対し，３次元になると少し状況が変わってくる．３次元ランダムウォークの場合，たとえ無限に歩き続けたとしても，出発点に戻ってくる確率はおよそ０．３４にすぎない．３次元では進める方向が多すぎて，偶然に出発点に戻ってくるのはそう簡単なことではないのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝