カタラン数の一般項は

　　Ｃn＝2nＣn／（ｎ＋１）＝（２ｎ）！／ｎ！（ｎ＋１）！，

　　Ｃn＝2n+1Ｃn／（２ｎ＋１）

あるいは

　　Ｃn＝2nＣn−2nＣn-1＝１，２，５，１４，４２，・・・

と表される．

　　Ｃn＝2nＣn／（ｎ＋１）＝（２ｎ）！／（ｎ！）^2（ｎ＋１）

に対して，スターリングの漸近公式

　　ｋ！＝√２π・ｋ^(k+1/2)・exp（−ｋ）＝√（２πｋ）・（ｋ／ｅ）^k

を適用すると，

　　Ｃn〜２^2n／√（ｎπ）（ｎ＋１）〜４^nｎ^(-3/2)／√π

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【１】１次元ランダムウォーク

　ここでは，対称単純ランダムウォークの場合の再帰性，すなわち，いつかは原点に戻る確率（再帰確率）について考察することにします．

　原点に戻るのはｔが偶数の時に限られるので，２ｎステップのとき，左右に同じ回数ｎずつ移動する確率は

　　ｕ2n＝2nＣnｐ^nｑ^n

で与えられます．特に，対称（ｐ＝ｑ＝１／２）のときは，

　　ｕ2n＝2nＣn／２^(2n)

　また，粒子が時刻２ｎではじめて原点に復帰する確率は

　　ｆ2n＝ｕ2(n-1)／２ｎ

で与えられます．この確率はカタラン数

　　Ｃn＝2nＣn／（ｎ＋１）＝１，２，５，１４，４２，・・・

を用いて，

　　ｆ2n＝Ｃ(n-1)／２^(2(n-1))

と表されます．（カタラン数のはじめの４項１，２，５，１４は初項１から始まって前項を３倍して１を引いたものに一致しますが，５項目以降は異なっています．）

　再帰性を判定するのには，たとえば，粒子が出発した点にいる確率がｔ＝∞においても有限の値を示すときは再帰的，また，これは出発した点にいる確率をｔ＝０からｔ＝∞まで積算した量が無限大に発散するときは再帰的と定義できます．前者は強い意味の，後者は弱い意味の粒子の局在を表しています．すなわち，単純ランダムウォークが再帰的であるための必要十分条件は，

　　Σｕ2n＝∞

が成立することと考えられ，Σｕ2n＜∞のときは再帰しないとします．

　ここで，ウォリスの公式によって，

　　ｕ2n＝2nＣn／２^(2n)　〜　（πｎ）^(-1/2)

が示されます．また，ゼータ関数

　　ζ（ｋ）＝Σ１／ｎ^k

はｋ≦１のとき発散し，ｋ＞１のとき収束しますから，１次元の対称単純ランダムウォークは再帰的であることがわかります．スターリングの公式を使っても同じ結果が得られます．

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