１次元・２次元酔歩の場合，積分

　　Ｉd＝Σｕ2n＝（２π）^(-d)∫(-π,π)(1-φ(t))^(-1)dt

　　φ(t)＝1/dΣcos(t)

が発散することは次のようにして示すことができます．

（１次元酔歩）

　　ｃｏｓｘ≧１−ｘ^2／２

より，

　　２πＩ1＝∫(-π,π)（１−ｃｏｓｘ）^(-1)ｄｘ

　　　　　　≧∫(-π,π)２／ｘ^2ｄｘ＝∞

（２次元酔歩）

　　２−（ｃｏｓｘ＋ｃｏｓｙ）≦１／２（ｘ^2＋ｙ^2）

より，

　　（２π）^2Ｉ2＝∫(-π,π)（２−ｃｏｓｘ−ｃｏｓｙ）^(-1)ｄｘｄｙ

　　　　　　　　　≧∫(-π,π)２／（ｘ^2＋ｙ^2）ｄｘｄｙ

ここで，ｘ＝ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθと極座標変換すれば，

　　ｄｘｄｙ＝ｒｄｒｄθ

より，θ

　　（２π）^2Ｉ2≧∫(0,π)∫(-π,π)２／ｒｄｒｄθ＝∞

　参考までに，１次元酔歩の再帰確率ｕ2nの母関数は

　　Q(t)=(1-t^2)^(-1/2)

２次元酔歩では母関数は第２種楕円積分

　　Q(t)=2/πK(t)

となりますが，

　　Σｕn＝Ｑ（１）＝∞

より，１次元酔歩も２次元酔歩も再帰的であることがわかります．また，これらとベッセル関数との間に，積分公式

　　Σｕ2n＝∫(0,∞)exp(-x){I0(x/d)}^ddx

が成り立つことも確認されます．

　同様に，３次元空間での極座標変換のヤコビアンは

　　ｄｘｄｙｄｚ＝ｒ^2ｓｉｎθｄｒｄθｄφ

４次元以上では

　　ｄｘｄｙｄｚ・・・＝ｒ^(d-1)ｓｉｎ^(d-2)θｓｉｎ^(d-3)φ・・・ｄｒｄθｄφ・・・

と続きますから，一般のｄ次元では

　　Ｉd＝ｃ∫ｒ^(d-1)／ｒ^2ｄｒ＝ｃ∫ｒ^(d-3)ｄｒ

したがって，

　　Ｉd＝∞　　　（ｄ＝１，２のとき発散）

　　Ｉd＜∞　　　（ｄ≧３のとき有限確定）

であることが確かめられます．

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