次に，２次元ランダムウォークの母関数はどう表されるでしょうか？　同様に，ｕnの母関数を

　　Ｕ（ｔ）＝Σｕnｔ^n

とおくと，ｕ2n＝｛2nＣn／２^(2n)｝^2ですから，この級数の項比は

　　ｕ2(n+1)ｔ^2(n+1)／ｕ2nｔ^2n=(n+1/2)^2/(n+1)*t^2/(n+1)

　これより，級数Ｕ（ｔ）はガウス型超幾何級数2Ｆ1(1/2,1/2,1,t^2)であると同定され，

　　Ｕ（ｔ）＝2Ｆ1(1/2,1/2,1,t^2)＝2/πＫ（ｔ）

より第２種楕円積分，すなわち，楕円の周長と関係しているというわけです．

　また，

　　Ｕ（１）＝∞

より，２次元酔歩も再帰的であることがわかります．

　１次元酔歩の再帰確率に関する母関数は

　　(1-t^2)^(-1/2)

２次元酔歩では母関数は楕円積分

　　2/πK(t)

となりました．それに対して，３次元以上の酔歩の母関数は複雑で求められそうにありません．　　　Peter Griffin(1990): Accelerating beyond the third dimension: Returning to the origin in simple random walk, Math. Scientist 15, 24-35

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