【１】ランダムウォークの母関数

　まず，よく知られている１次元対称単純ランダムウォークの原点復帰の問題について考えることにしましょう．

　原点に戻るのはｔが偶数の時に限られるので，２ｎステップのとき，左右に同じ回数ｎずつ移動する確率は

　　ｕ2n＝2nＣn／２^(2n)

で与えられます．ここでｕ0＝１，また，奇数回目には戻ることができませんからｕ2n+1＝０とします．

　ここで，ｕnの母関数を

　　Ｕ（ｔ）＝Σｕnｔ^n

とおくと，ｕ2n＝2nＣn／２^(2n)ですから，この級数の項比は

　　ｕ2(n+1)ｔ^2(n+1)／ｕ2nｔ^2n=(n+1/2)*t^2/(n+1)

これより，級数Ｕ（ｔ）は超幾何級数1Ｆ0(1/2,t^2)であると同定され，

　　Ｕ（ｔ）＝1Ｆ0(1/2,t^2)＝（１−ｔ^2）^(-1/2)

であることがわかります．

　２項展開からすぐにこの関数を思い浮かべることは困難と思われますが，超幾何関数であると仮定すると上のようにして導き出すことができます．この関数は円周の長さに関係していて

　　f(x)=(1-x^2)^(-1/2)

を積分すると，逆正弦関数

　　F(x)=arcsin(x)

が得られます．

　また，この関数の特性関数は第１種ベッセル関数Ｊ0(x)で表されますが，このことはレイリー分布やライス分布との関連から別の機会にあらためて考察することにします．

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　　Σｕn＝Ｕ（１）＝∞

より１次元酔歩が再帰的であることが導き出されますが，一方，１次元ランダムウォークにおいて，粒子が時刻２ｎではじめて原点に復帰する確率を求めるのは簡単ではありません．

　実は，

　　ｆ2n＝ｕ2(n-1)／２ｎ

で与えられるのですが，ここではわからないと仮定して，ｆnの母関数を

　　Ｆ（ｔ）＝Σｆnｔ^n　　　ｆ0＝０，ｆ2n+1＝０

とします．

　原点に戻って来るには，はじめてどこかで原点に戻って，その後，またｎ回目に戻ってくればよいので，ｕnとｆnの間には両者を結びつける重要な公式

　　ｕn＝Σｆkｕn-k＝ｆnｕ0＋ｆn-1ｕ1＋・・・＋ｆ0ｕn

が導かれます．

　ここで，両辺にｔ^nをかけてｎを０〜∞までの和をとれば，左辺からはＵ（ｔ），右辺からは１＋Ｕ（ｔ）Ｆ（ｔ）が得られますから，このことより

　　Ｕ（ｔ）＝１＋Ｕ（ｔ）Ｆ（ｔ）

すなわち

　　Ｆ（ｔ）＝１−１／Ｕ（ｔ）

が成り立ちます．

　これより，名目的には

　　ｆn＝(-1)^(n+1)1/2Cn　　　　　Σｆn＝Ｆ（１）

と表されることがわかりますが，実質的には

　　ｆn＝(2n-3)!!/(2^nn!)

ここで，(2n-1)!!=(2n)!(2^nn!)より，

　　ｆn＝ｕ2(n-1)／２ｎ　　　（ｎ≧１）

が導かれます．

　ここで，

　　ｆn＝ｕ2(n-1)／２ｎ

が第０項から始まるようにパラメータをずらすと，

　　ａn＝ｕ2n／２（ｎ＋１）　　　（ａ0＝1/2）

この級数の項比は

　　ａn+1ｘn+1/ａnｘn=(n+1/2)(n+1)/(n+2)*x^2/(n+1)

ですから，

　　ａ0*2Ｆ1(1/2,1/2,2,x^2)＝1/2*2Ｆ1(1/2,1,2,x^2)

　また，ｆ0＝０，ｆ1＝０より，ｆnの母関数は

　　x^2/2*2Ｆ1(0,1/2,1,x^2)＝x^2/{1+(1-x^2)^(1/2)}

であると同定されます．

　ここで，

　　Σｆn＝Ｆ（１）＝１

ですから，１次元酔歩は再帰的であることが再確認されたことになります．

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