単純ランダムウォークがd2≦ならば再帰的、ｄ≧３ならば非再帰的であるとは

人間は酔っぱらっても偶然に帰路がみつかるが、鳥が酔っぱらうと永遠に迷子になる可能性があるということである。

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【１】ｄ次元立方格子上のランダムウォーク

　ｄ次元対称単純ランダムウォークは，確率１で出発点に戻れるだろうか？　という問いに対しては

　ａ）ｄ≧３のときは非再帰的であって無限の彼方へいってしまう

　ｂ）ｄ＝１，２のときは再帰的である（すべての道はローマに通ず）

　しかし，再帰的とはいってもいつかは原点に帰るということであって，その戻るまでの時間の期待値は∞です．これを零再帰的と呼び，戻れるとはいっても戻りづらいことがわかります．３次元ランダムウォークの場合，たとえ無限に歩き続けたとしても，出発点に戻ってくる確率はおよそ０．３４にすぎません．３次元では進める方向が多すぎて，偶然に出発点に戻ってくるのはそう簡単なことではないのです．

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【２】その他の２次元格子上のランダムウォーク

　２次元正方格子上の酔歩は再帰的ですが，その他の２次元格子ではどうでしょうか？　結論だけをいうと

正方格子　　ｕ2n　〜　（πｎ）^(-1)

三角格子　　ｕ2n　〜　√３／２（πｎ）^(-1)

六角格子　　ｕ2n　〜　３√３／２（πｎ）^(-1)

カゴメ格子　ｕ2n　〜　２√３／３（πｎ）^(-1)

　すなわち，再帰的ということになります．これらの結果は，斜交座標を導入すると直交座標と同一視できることから得られますが，詳細については，志賀徳造「ルベーグ積分から確率論」共立出版を参照されたい．

［補］同じ大きさの正３角形２個のうち，１個を天地逆転させ，もう１個の正３角形に重ねると星形６角形ができます．これはダビデの星と呼ばれて，イスラエルの国旗にも使われ，ユダヤ人の象徴とされています．星形６角形では内側に正６角形ができますが，外側を６個の正３角形が取り囲んでいます．

　この星形６角形に対応するグラフが「カゴメ格子」です．カゴメ格子は正三角形と正六角形が互いに隣接した周期的な格子で，竹細工の篭の結び目にみられることからその名前が由来しています．カゴメ格子は，日本人が最も愛好した文様のひとつですが，ちなみにカゴメは世界でも通用する呼び名とのことです．

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