単純ランダムウォークがd2≦ならば再帰的、ｄ≧３ならば非再帰的であるとは

人間は酔っぱらっても偶然に帰路がみつかるが、鳥が酔っぱらうと永遠に迷子になる可能性があるということである。

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　次に，２次元ランダムウォークの母関数はどう表されるでしょうか？　同様に，ｕnの母関数を

　　Ｕ（ｔ）＝Σｕnｔ^n

とおくと，ｕ2n＝｛2nＣn／２^(2n)｝^2ですから，この級数の項比は

　　ｕ2(n+1)ｔ^2(n+1)／ｕ2nｔ^2n=(n+1/2)^2/(n+1)*t^2/(n+1)

　これより，級数Ｕ（ｔ）はガウス型超幾何級数2Ｆ1(1/2,1/2,1,t^2)であると同定され，

　　Ｕ（ｔ）＝2Ｆ1(1/2,1/2,1,t^2)＝2/πＫ（ｔ）

より第２種楕円積分，すなわち，楕円の周長と関係しているというわけです．

　また，

　　Ｕ（１）＝∞

より，２次元酔歩も再帰的であることがわかります．

　実は，小生，ある理由から２次元酔歩の母関数が第２種楕円積分になるのではないかと予想しておりました．この予想についても回をあらためて述べることにしたいと思います．

　１次元酔歩の再帰確率に関する母関数は

　　(1-t^2)^(-1/2)

２次元酔歩では母関数は楕円積分

　　2/πK(t)

となりました．それに対して，３次元以上の酔歩の母関数は複雑で求められそうにありません．

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