単純ランダムウォークがd2≦ならば再帰的、ｄ≧３ならば非再帰的であるとは

人間は酔っぱらっても偶然に帰路がみつかるが、鳥が酔っぱらうと永遠に迷子になる可能性があるということである。

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　横浜国大・今野紀雄先生より頂いた資料：

　　Peter Griffin(1990): Accelerating beyond the third dimension: Returning to the origin in simple random walk, Math. Scientist 15, 24-35

の数表をみると，小生が計算した再帰確率

　　d=3,n=200　→　p3=0.32

　　d=3,n=500　→　p3=0.33

　　d=4,n=100　→　p4=0.19

とすべて一致し，私にとっては大満足の結果となりました．また，その文献からｄ次元格子上における酔歩の再帰確率ｐdを引用すると，

　　　　 ｄ　　 ｐd　　　　　　　　　 ｄ　　 ｐd

　　　　 1　　 1　　　　　　　　　　　13　　.041919　

　　　　 2　　 1　　　　　　　　　　　14　　.038657　

　　　　 3　　 .340537　　　　　　　　15　　.035869　

　　　　 4　　 .193201　　　　　　　　16　　.033458　

　　　　 5　　 .135178　　　　　　　　17　　.031352　

　　　　 6　　 .104715　　　　　　　　18　　.029496　

　　　　 7　　 .085844　　　　　　　　19　　.027848　

　　　　 8　　 .072912　　　　　　　　20　　.026375　

　　　　 9　　 .063447　　　　　　　　30　　.017257　

　　　　 10　　.056197　　　　　　　　40　　.012827　

　　　　 11　　.050455　　　　　　　　100　 .005050　

　　　　 12　　.045789　　　　　　　　　　　　　　　

　再帰確率はｄが大きいほど小さくなりますが，ｄが十分に大きいとき，第１種０次の変形ベッセル関数を使って，

　　Σｕ2n＝∫(0,∞)exp(-x){I0(x/d)}^ddx

　〜　1＋2!/2(2d)+3!/2(2d)^2+4!/2(2d)^3+5!/2(2d)^4+5*71/2(2d)^5+･･･

より，

　　ｐd　〜　1/(2d){1+1/d+7/(4d^2)+35/(8d^3)+215/(16d^4)}

で漸近近似されることがその論文には記されています．

　この式では，最初の数項の近似値でも

　　p1=1,p2=1,p3=0.34,p4=0.20,p5=0.13,p6=0.10

ですから，かなり正確な値がでています．

　また，

　　１／２（ｄ−１）＝1/(2d){1+1/d+1/(d^2)+･･･}

ですから，式

　　ｐd　〜　１／２（ｄ−１）

は簡単な割には漸近確率をよく近似し，

　　ｐd　〜　１／（２ｄ−１）　あるいは　ｐd　〜　１／（２ｄ）

よりも外挿した際の誤差が小さいことが理解されます．

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