単純ランダムウォークがd2≦ならば再帰的、ｄ≧３ならば非再帰的であるとは

人間は酔っぱらっても偶然に帰路がみつかるが、鳥が酔っぱらうと永遠に迷子になる可能性があるということである。

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【１】特性関数を用いた再帰確率の計算

　さて，参考書籍：

　　Durrett: Probability: theories and examples

にある結論だけ示しますと，ｄ次元超立方格子上のランダムウォークにおいては，

　　Σｕ2n＝（２π）^(-d)∫(-π,π)Re(1-φ(t))^(-1)dt

　　　　φ(t)：特性関数φ(t)

が成り立つというものです．

　とくに，３次元の場合は，

　　Σｕ2n＝（２π）^(-3)∫(-π,π)（１−1/3Σｃｏｓt）^(-1)dt

　　　　　＝（√6/32π^3）Γ(1/24)Γ(5/24)Γ(7/24)Γ(11/24)

　　　　　＝１．５１・・・

と評価され，したがって，

　　Σｆ2n＝（Σｕ2n−１）／Σｕ2n＝１−１／Σｕ2n

　　　　　＝０．３４・・・

と計算できるとあります．

　私は３次元ランダムウォークの母関数さえも思いつきませんでしたから，特性関数を用いた計算をみて，眼からウロコ状態になりました．

　また，その文献には，志賀徳造「ルベーグ積分から確率論」共立出版にあるのと同じ漸近確率

　ｕ2n　〜　２^(1-d)ｄ^(d/2)（πｎ）^(-d/2)

が掲げられていますから，今後の計算ではこの評価式を使用することにします．

　なお，紹介された文献によると，４次元〜９次元超立方格子上のランダムウォークの再帰確率については，

　　Kondo and Hara (1987)

に掲げられているとのことでした．

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