単純ランダムウォークがd2≦ならば再帰的、ｄ≧３ならば非再帰的であるとは

人間は酔っぱらっても偶然に帰路がみつかるが、鳥が酔っぱらうと永遠に迷子になる可能性があるということである。

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　立方格子上の３次元ランダムウォークの再帰確率について考えてみましょう．今野紀雄「確率モデル」ナツメ社あるいはＩ．ピーターソン「カオスと偶然の数学」白揚社によると，３次元ランダムウォークでは出発点に戻ってくる再帰確率はおよそ０．３４とあります．

　両者は一致していますから，この再帰確率は数学者・科学者の間では正しいものと認知されている数値なのでしょう．しかし，小生にとっては０．３４がなんの前触れも説明もなしに唐突にでてくるので，この再帰確率がどのようにして求められたものなのか，購読したときからの疑問でありました．

　１次元ランダムウォークにおいて，粒子が時刻２ｎではじめて原点に復帰する確率は

　　ｆ2n＝ｕ2(n-1)／２ｎ

で与えられます．これを求めるのは簡単ではありません．そこでこの母関数をＦ（ｔ）とおくと，

　　Ｆ（ｔ）＝１／（１−Ｕ（ｔ））

により，

　　ｆn＝(-1)^(n+1)1/2Cn

であることがわかります．

　３次元ランダムウォークにおいても，原点への最初の復帰が２ｎ回目に起きるという確率をｆ2nとすると，求める再帰確率はΣｆ2nで表されます．ここで母関数を使った少し込み入った議論が必要になるのですが，結論だけをいうと，ｎ→∞のとき，

　　Σｆ2n＝（Σｕ2n−１）／Σｕ2n＝１−１／Σｕ2n

が成り立ちます．Σｕ2n＝∞のときにはΣｆ2n＝１，すなわち，ランダムウォークは再帰的，また，Σｕ2n＜∞のときにはΣｆ2n＜１で非再帰的となります．そこで，Σｕ2nの値を求めてみることにします．

　まず，大まかな評価をするために，前節の漸近確率の結果をもとにして，Σｕ2nを計算してみることにしました．

　　Σｕ2n　〜　Σ（３／π）^(3/2)／２ｎ^(3/2)

　　　　　　＝（３／π）^(3/2)／２ζ（3/2）

ζ（3/2）=2.612375･･･ですから，

　　Σｕ2n　〜　1.22

したがって，

　　Σｆ2n＝0.18

　また，

　　ｕ2n　〜　２^(1-d)ｄ^(d/2)（πｎ）^(-d/2)

をもとに計算すると，

　　Σｕ2n　〜　（３／π）^(3/2)／４ζ（3/2）＝0.61

となり，これが１に満たないことから

　　Σｆ2n＝-0.64???

　いずれにせよ，0.34には一致しないところか，かなりかけ離れた値になってしまいました．

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