単純ランダムウォークがd2≦ならば再帰的、ｄ≧３ならば非再帰的であるとは

人間は酔っぱらっても偶然に帰路がみつかるが、鳥が酔っぱらうと永遠に迷子になる可能性があるということである。

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　引き続いて，１次元格子の代わりに多次元直交格子上の対称単純ランダムウォークを考えてみましょう．時刻０で平面上の原点から出発し，単位時刻ごとに正方格子の上下左右の４つの隣接点に等確率１／４で移動していくのが２次元対称単純ランダムウォーク，立方格子の６つの隣接点に等確率１／６で移動していく粒子の運動が３次元対称単純ランダムウォークです．

　２次元対称単純ランダムウォークで，粒子が時刻２ｎに原点にいると確率は，４項分布において，それまで上下にそれぞれｋ回，左右にそれぞれｎ−ｋ回移動した確率ですから，ｉ＋ｊ＝ｎとして

　　ｕ2n＝１／４^(2n)Σ（２ｎ）！／（ｉ！）^2（ｊ！）^2

　　　　＝１／４^(2n)（２ｎ）！／（ｎ！）^2Σ（ｎ！／ｉ！ｊ！）^2

　ここで，２項係数に関して

　　ΣnＣknＣn-k＝Σ（nＣk）^2＝2nＣn

が成り立つので，

　　ｕ2n＝１／４^(2n)（2nＣn）^2

　　　　〜　（πｎ）^(-1)　　　（スターリングの公式）

より，２次元ランダムウォークは再帰的であることが示されます．

　１次元・２次元のランダムウォークでは再帰的（必ず原点に戻ってくる）ということは，平行移動不変性より，原点に限らずどの点も無限回訪れることを意味していて，運動する領域をすべて覆いつくすことになります．

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　同様に，３次元対称単純ランダムウォークでは，６項分布において，ｉ＋ｊ＋ｋ＝ｎとして

　　ｕ2n＝１／６^(2n)Σ（２ｎ）！／（ｉ！）^2（ｊ！）^2（ｋ！）^2

　　　　＝2nＣn／６^(2n)Σ（ｎ！／ｉ！ｊ！ｋ！）^2

　では，Σ（ｎ！／ｉ！ｊ！ｋ！）^2はどうなるのでしょうか？　実は，これには単純な公式のないことが証明されています．そこで，

　　ｃ＝ｍａｘ（ｎ！／ｉ！ｊ！ｋ！）　〜　ｎ！／（ｎ／３！）^3

とおくと，

　　ｕ2n≦2nＣn／２^(2n)・ｃ／３^nΣｎ！／ｉ！ｊ！ｋ！（1/3）^2

ここで，

　　（1/3＋1/3＋1/3）^n＝Σ（ｎ！／ｉ！ｊ！ｋ！）（1/3）^n＝１

ですから，

　　ｕ2n≦2nＣn／２^(2n)・ｃ／３^n

　ここで再び，スターリングの公式を用いると，

　　ｃ　〜　３^(3/2)／２πｎ・３^n

　　2nＣn／２^(2n)　〜　（πｎ）^(-1/2)

したがって，不等式の右辺は漸近的に

　　ｕ2n　〜　（３／π）^(3/2)／２ｎ^(3/2)　〜　Ｃ／ｎ^(3/2)

となります．

　このことはΣｕ2nが収束することを示していて，３次元ランダムウォークが非再帰的であることを意味しています．換言すると，３次元ランダムウォークが原点に決して戻ってこれない確率は正であり，この点は１次元・２次元ランダムウォークと著しく異なっています．

　上の論法は，一般のｄ次元の場合にも使えて，

　　ｕ2n≦2nＣn／２^(2n)・ｃ／ｄ^n

　　ｃ　〜　ｄ^(d/2)／（２πｎ）^(d/2-1/2)・ｄ^n

　　2nＣn／２^(2n)　〜　（πｎ）^(-1/2)

したがって，

　　ｕ2n　〜　２^(1/2-d/2)ｄ^(d/2)（πｎ）^(-d/2)　〜　Ｃ／ｎ^(d/2)

となりますから，ｄ≧３のときは非再帰的であって無限の彼方へいってしまうという結果が導き出されます．

　もっとも，志賀徳造「ルベーグ積分から確率論」共立出版によると，一般に，ｄ次元対称単純ランダムウォークでは，最近接の２ｄ個の点に等確率１／２ｄで移動し，ｎ→∞のとき

　　ｕ2n　〜　２^(1-d)ｄ^(d/2)（πｎ）^(-d/2)

であることが知られています．この漸近近似式はｄ＝１，２のときは前述の結果に一致していますから，多分，

　　ｕ2n　〜　２^(1/2-d/2)ｄ^(d/2)（πｎ）^(-d/2)

よりもよい評価式になっているはずです．

　両者はｄ＝３のときは一致しませんが，それは上限

　　ｕ2n　〜　（３／π）^(3/2)／２ｎ^(3/2)

がかなり大まかな評価式になっているためと考えられます．しっかり検証したわけではありませんが，この際，

　　ｕ2n　〜　２^(1-d)ｄ^(d/2)（πｎ）^(-d/2)

のほうを信用することにしましょう．

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