単純ランダムウォークがd2≦ならば再帰的、ｄ≧３ならば非再帰的であるとは

人間は酔っぱらっても偶然に帰路がみつかるが、鳥が酔っぱらうと永遠に迷子になる可能性があるということである。

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　さて，ここからはいよいよ対称単純ランダムウォークの再帰性といつかは原点に戻る確率（再帰確率）について考察することにします．

　原点に戻るのはｔが偶数の時に限られるので，２ｎステップのとき，左右に同じ回数ｎずつ移動する確率は

　　ｕ2n＝2nＣnｐ^nｑ^n

で与えられます．特に，対称（ｐ＝ｑ＝１／２）のときは，

　　ｕ2n＝2nＣn／２^(2n)

　また，ｕ2nの母関数をＵ（ｔ）とおくと，ｕ2n＝2nＣn／２^(2n)ですから，

　　Ｕ（ｔ）＝（１−ｔ^2）^(-1/2)

であることがわかります．

　再帰性を判定するのには，たとえば，粒子が出発した点にいる確率がｔ＝∞においても有限の値を示すときは再帰的，また，これは出発した点にいる確率をｔ＝０からｔ＝∞まで積算した量が無限大に発散するときは再帰的と定義できます．前者は強い意味の，後者は弱い意味の粒子の局在を表しています．すなわち，単純ランダムウォークが再帰的であるための必要十分条件は，

　　Σｕ2n＝∞

が成立することと考えられ，Σｕ2n＜∞のときは再帰しないとします．

　ここで，スターリングの公式

　　n!　〜　√(2πn)n^nexp(-n)

によって，次のウォリスの公式の公式が導かれます．

　　(2n)!/(2^nn!)^2　〜　（πｎ）^(-1/2)

これより，

　　ｕ2n＝2nＣn／２^(2n)　〜　（πｎ）^(-1/2)

が示されます．

　また，ゼータ関数

　　ζ（ｋ）＝Σ１／ｎ^k

はｋ≦１のとき発散し，ｋ＞１のとき収束しますから，

　　Σｕ2n　〜　Σ（πｎ）^(-1/2)

したがって，１次元の対称単純ランダムウォークは再帰的であることがわかります．

　なお，１次元非対称単純ランダムウォークに対しては，まったく同じ方法で，　　ｕ2n＝2nＣnｐ^nｑ^n＝2nＣn／２^(2n)（４ｐｑ）^n

　　　　〜　（πｎ）^(-1/2)（４ｐｑ）^n

４ｐｑ＜１ですから，ｕ2nは指数的な速さで０に収束します．すなわち，Σｕ2nは本質的に公比４ｐｑ＜１の等比級数になり，２項級数展開を用いれば，

　　Σｕ2n＝（１−４ｐｑ）^(-1/2)＝１／｜ｐ−ｑ｜＜∞

が得られます．これが収束することから，１次元非対称単純ランダムウォークは非再帰的という結果が得られます．

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