単純ランダムウォークがd2≦ならば再帰的、ｄ≧３ならば非再帰的であるとは

人間は酔っぱらっても偶然に帰路がみつかるが、鳥が酔っぱらうと永遠に迷子になる可能性があるということである。

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　引き続いて，１次元格子の代わりに多次元直交格子上の対称単純ランダムウォークを考えてみましょう．時刻０で平面上の原点から出発し，単位時刻ごとに正方格子の上下左右の４つの隣接点に等確率１／４で移動していくのが２次元対称単純ランダムウォーク，立方格子の６つの隣接点に等確率１／６で移動していく粒子の運動が３次元対称単純ランダムウォークです．

　２次元対称単純ランダムウォークで，粒子が時刻２ｎに原点にいると確率は，４項分布において，それまで上下にそれぞれｋ回，左右にそれぞれｎ−ｋ回移動した確率ですから，ｉ＋ｊ＝ｎとして

　　ｕ2n＝１／４^(2n)Σ（２ｎ）！／（ｉ！）^2（ｊ！）^2

　　　　＝１／４^(2n)（2nＣn）^2　

　　　　〜　（πｎ）^(-1)

　同様に，３次元対称単純ランダムウォークでは，６項分布において，ｉ＋ｊ＋ｋ＝ｎとして

　　ｕ2n＝１／６^(2n)Σ（２ｎ）！／（ｉ！）^2（ｊ！）^2（ｋ！）^2

　　　　＝2nＣn／２^(2n)Σ（ｎ！／３^nｉ！ｊ！ｋ！）^2

　　　　〜　Ｃ／ｎ^(3/2)

　すなわち，２次元の対称単純ランダムウォークは再帰的であるのに対し，３次元対称単純ランダムウォークは非再帰的であるという結果が得られます．

　一般に，ｄ次元対称単純ランダムウォークでは，最近接の２ｄ個の点に等確率１／２ｄで移動し，ｎ→∞のとき

　　Σｕ2n　〜　２^(1-d)ｄ^(d/2)（πｎ）^(-d/2)

　したがって，ｄ次元対称単純ランダムウォークは，確率１で出発点に戻れるだろうか？　という問いに対しては

　ａ）ｄ≧３のときは非再帰的であって無限の彼方へいってしまう

　ｂ）ｄ＝１，２のときは再帰的である（すべての道はローマに通ず）

ということを意味しています．しかし，再帰的とはいっても，いつかは原点に帰るということであって，その戻るまでの時間の期待値は∞です．これを零再帰的と

呼び，戻れるとはいっても戻りづらいことがわかります．

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