単純ランダムウォークがd2≦ならば再帰的、ｄ≧３ならば非再帰的であるとは

人間は酔っぱらっても偶然に帰路がみつかるが、鳥が酔っぱらうと永遠に迷子になる可能性があるということである。

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単純ランダムウォークの再帰性，すなわち，いつかは原点に戻る確率（再帰確率）について考察することにします．

　非対称単純ランダムウォーク（ｐ≠ｑ）では，ｐ，ｑの大小によって右か左にずれる傾向があるはずで，非再帰的，すなわちｔ→∞のとき無限の彼方へいってしまうことが予想されます（実際そうなるのであるが，その証明は後述する）．そこで，ｐ＝ｑ＝１／２，すなわち対称単純ランダムウォークの場合を考えることにします．

　原点に戻るのはｔが偶数の時に限られるので，２ｎステップのとき，左右に同じ回数ｎずつ移動する確率は

　　ｕ2n＝2nＣnｐ^nｑ^n

で与えられます．特に，対称（ｐ＝ｑ＝１／２）のときは，

　　ｕ2n＝2nＣn／２^(2n)

　また，粒子が時刻２ｎではじめて原点に復帰する確率は

　　ｆ2n＝ｕ2(n-1)／２ｎ

で与えられます．この確率はカタラン数

　　Ｃn＝2nＣn／（ｎ＋１）＝１，２，５，１４，４２，・・・

を用いて，

　　ｆ2n＝Ｃ(n-1)／２^(2(n-1)) と表されます．（カタラン数のはじめの４項１，２，５，１４は初項１から始まって前項を３倍して１を引いたものに一致しますが，５項目以降は異なっています．）

　再帰性を判定するのには，たとえば，粒子が出発した点にいる確率がｔ＝∞においても有限の値を示すときは再帰的，また，これは出発した点にいる確率をｔ＝０からｔ＝∞まで積算した量が無限大に発散するときは再帰的と定義できます．前者は強い意味の，後者は弱い意味の粒子の局在を表しています．すなわち，単純ランダムウォークが再帰的であるための必要十分条件は，

　　Σｕ2n＝∞

が成立することと考えられ，Σｕ2n＜∞のときは再帰しないとします．

　ここで，ウォリスの公式によって，

　　ｕ2n＝2nＣn／２^(2n)　〜　（πｎ）^(-1/2)

が示されます．また，ゼータ関数

　　ζ（ｋ）＝Σ１／ｎ^k

はｋ≦１のとき発散し，ｋ＞１のとき収束しますから，１次元の対称単純ランダムウォークは再帰的であることがわかります．スターリングの公式を使っても同じ結果が得られます．

　なお，１次元非対称単純ランダムウォークに対しては，まったく同じ方法で，　　ｕ2n＝2nＣnｐ^nｑ^n＝2nＣn／２^(2n)（４ｐｑ）^n

　　Σｕ2n＝（１−４ｐｑ）^(-1/2)＝１／｜ｐ−ｑ｜＜∞

すなわち，非再帰的という結果が得られます．

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