答えはわかったが，Ｕ嬢に計算方法を説明しなければならない．この方が難しいかもしれない．

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　ｎ人をｋチームに分ける（Ｕ嬢からの問題ではｋ＝３６５）．このとき，すべてのチームに少なくとも一人は属するように分けることにする．

　ｎ人をｋチームに分ける場合の数はｋ^n通りあり，このうち，チームにだれも属さない場合の数を除けばよい．

　ベン図を描けばわかりやすいが，それは包除原理より，

　　kＣ1（ｋ−１）^n−kＣ2（ｋ−２）^n＋・・・＋（−１）^k-2kＣk-1１^n

これを後ろから足し合わせると

　　Σ(1,k-1)（−１）^k-j-1kＣk^jｊ^n＝Σ(1,k-1)（−１）^k-j-1kＣk^jｊ^n

　ｋ^nからこれを引くと

　　ｋ^n−Σ(1,k-1)（−１）^k-j-1kＣk^jｊ^n＝Σ(1,k)（−１）^k-jkＣjｊ^n

　したがって，求める確率は

　　ｐn,k＝Σ(1,k)（−１）^k-jkＣjｊ^n／ｋ^n

　　ｐn,k＝Σ(1,k)（−１）^k-jkＣj（ｊ／ｋ）^n

で計算されることになる．

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　２円または３円が交わったベン図を描いたことがあるだろう．２円の場合，共通部分がひとつできるが，３円の場合は２円の共通部分が３つ，３円の共通部分がひとつできる．

　中学・高校で４円以上が取り扱われることはまずないが，ｎ円となっても原理は同じである．それは，共通部分に含まれるものを引いて，引き過ぎた分を足し直してということを繰り返す包除原理である．

　第２種スターリング数（nＳ3の場合）の具体例を掲げておく．

［１］Ａ，Ｂ，Ｃへの割り付け全体　　３^n

［２］Ａを除いてＢ，Ｃに割り付ける　　２^n

［３］Ｂを除いてＡ，Ｃに割り付ける　　２^n

［４］Ｃを除いてＡ，Ｂに割り付ける　　２^n

［５］Ａだけに割り付ける　　１

［６］Ｂだけに割り付ける　　１

［７］Ｃだけに割り付ける　　１

　　（３^n−３・２^n＋３）／３！＝３^n-1／２−２^n-1＋１／２

　包除原理を用いると，一般項は

　　nＳk＝１／ｋ！Σ（−１）^k-jkＣjｊ^n

となることがわかります．

　　nＳ2＝２^n-1−１

　　nＳ3＝３^n-1／２−２^n-1＋１／２

　　nＳ4＝４^n-1／６−３^n-1／２＋２^n-2−１／６

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