nTk=k!・nSk
pn,k=k!/k^n・nSk
nSkは第2種スターリング数と呼ばれるもので,漸化式
n+1Sk=nSk-1+knSk
が成り立つ.
nS1=1を出発点として
nS2=2^n-1-1
nS3=3^n-1/2-2^n-1+1/2
nS4=4^n-1/6-3^n-1/2+2^n-2-1/6
一般項は
nSk=1/k!Σ(-1)^k-jkCjj^n
となります.以下,
nS5=(5^n-5・4^n+10・3^n-10・2^n+5)/5!
nS6=(6^n-6・5^n+15・4^n-20・3^n+15・2^n-6)/6!
と続く.
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k!/k^n+1・n+1Sk=pn+1,k
(k-1)!/(k-1)^n・nSk-1=pn,k-1
k!/k^n・nSk=pn,k
を
n+1Sk=nSk-1+knSk
に代入すると,
pn+1,k・k^n+1/k!=pn,k-1・(k-1)^n/(k-1)!+kpn,k・k^n/k!
pn+1,k・k^n+1=kpn,k-1・(k-1)^n+kpn,k・k^n
pn+1,k=pn,k-1・(1-1/k)^n+pn,k
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[まとめ]pn,1=1を出発点として,漸化式を使って,pn,365を求めることができればよいのであるが・・・
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