■幾何分布と誕生日の問題(その43)

  nTk=k!・nSk

  pn,k=k!/k^n・nSk

 nSkは第2種スターリング数と呼ばれるもので,漸化式

  n+1Sk=nSk-1+knSk

が成り立つ.

 nS1=1を出発点として

  nS2=2^n-1-1

  nS3=3^n-1/2-2^n-1+1/2

  nS4=4^n-1/6-3^n-1/2+2^n-2-1/6

 一般項は

  nSk=1/k!Σ(-1)^k-jkCjj^n

となります.以下,

  nS5=(5^n-5・4^n+10・3^n-10・2^n+5)/5!

  nS6=(6^n-6・5^n+15・4^n-20・3^n+15・2^n-6)/6!

と続く.

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  k!/k^n+1・n+1Sk=pn+1,k

  (k-1)!/(k-1)^n・nSk-1=pn,k-1

  k!/k^n・nSk=pn,k

  n+1Sk=nSk-1+knSk

に代入すると,

  pn+1,k・k^n+1/k!=pn,k-1・(k-1)^n/(k-1)!+kpn,k・k^n/k!

  pn+1,k・k^n+1=kpn,k-1・(k-1)^n+kpn,k・k^n

  pn+1,k=pn,k-1・(1-1/k)^n+pn,k

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[まとめ]pn,1=1を出発点として,漸化式を使って,pn,365を求めることができればよいのであるが・・・

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