誕生日のパラドックスは数多くの本で取り扱われた有名なものであるが，確かに，少なくとも２人同じ誕生日の人がいる確率の大きさには驚かされる．これを読んだ植木嬢（職場の同僚）が早速小生に疑問を投げかけてきた．ひとつには，この数字が女の直感に反するというものであり，もうひとつには，実際の計算方法を見るまではどうしても合点がいかないというものであった．

　この序文には，おしつけがましく結果だけを書いてあるが，実際問題として，確率計算になれていないと，式の誘導は難しいだろう．とりあえず，信じるものは救われる．ホレ信じなさい．というわけであるが，天下り式で我慢できないかたは，以下の説明を参照しながら誘導を試みられたい．

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　このクイズのトリックは，２人が同じ誕生日である確率は，１／３６５と小さいけれども，３０人もいれば，３０人の中から２人を選び出す組合せ数（３０，２）は，３０×２９／２＝４３５通りもあることである．これであれば，同じ誕生日に生まれたペア数の平均値は４３５／３６５となるから，一組以上のペアができると期待できるのである．一般に，１年はｄ日とし，構成員をｎ人とするとペア数の期待値はｎ（ｎ−１）／２ｄになっていることに注意されたい．

　式を誘導するため，次のような定式化をおこなってみよう．

１番目の人と２番目の人が異なる誕生日である確率は１−１／ｄである．また，３番目の人が１番と２番の人と誕生日が異なる確率は，２番目の人は１番目の人と異なる日に生まれたとして，１−２／ｄである．

　したがって，ｎ人全員が異なる誕生日である確率ｐnは，

　　ｐn＝（１−１／ｄ）×（１−２／ｄ）×・・・×（１−（ｎ−１）／ｄ）

となる．求めたい確率ｐは少なくとも２人同じ誕生日の人がいる確率であるから，

　　ｐ＝１−ｐn

　ｄ＝３６５について，ｎ＝２３では求める確率は０．５０７３，ｎ＝３０では０．７１，ｎ＝４０では０．８９にもなる．したがって，ｎ＝３０〜４０だったら少なくとも２人は同じ誕生日であるほうに賭けるほうが賢明であることがわかる．

　また，ｎがｄに比べて小さければ，テイラー展開より

　　１−ｋ／ｄ〜ｅｘｐ（−ｋ／ｄ）

　　Π（１−ｋ／ｄ）〜ｅｘｐ（−Σｋ／ｄ）

Σｋ＝ｎ（ｎ−１）／２であるから，

　　ｐ〜１−ｅｘｐ（−ｎ（ｎ−１）／２ｄ）

となる．

　ここで，先ほど説明したペア数の期待値ｎ（ｎ−１）／２ｄが再登場しているが，ペア数の分布は複雑であっても，その平均は単純であり，この近似計算はペア数の分布を平均ｎ（ｎ−１）／２ｄのポアソン分布で近似したものと考えることができる．電卓計算にはポアソン近似のほうが向いていて，たとえば，ｎ＝２３，ｄ＝３６５であれば，ｐ〜０．５０００が得られ，真の値０．５０７３のよい近似となっていることが理解される．

ｎ　　　　２０　　２３　　３０　　４０　　５０

正確な値　0.4114　0.5073　0.7063　0.8912　0.9704

近似値　　0.4058　0.5000　0.6963　0.8820　0.9651

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