【３】ハルモスの概算公式

　電卓を使ったとしても，［２］の計算はわずらわしいので，概算方法を示しておく．

　このクイズでは２人が同じ誕生日である確率は１／３６５と小さいけれども，３０人もいれば３０人の中から２人を選び出す組合せ数（３０，２）は，３０×２９／２＝４３５通りもあることである．これであれば，同じ誕生日に生まれたペア数の平均値は４３５／３６５となるから，一組以上のペアができると期待できるのである．一般に，１年はｄ日とし，構成員をｎ人とするとペア数の期待値はｎ（ｎ−１）／２ｄになっている．

　このことから

　　ｎ（ｎ−１）／２＞３６５　→　ｎ＞２８

としたいところであるが，実際には（Ａ１）で述べたように，

　　ｎ（ｎ−１）／２＞２５３　→　ｎ＞２３

でよく，２３人の中から２人を選び出す組合せ数は

　　２３×２２／２＝２５３

通りあるのである．

　以上のことから，

　　ｎ（ｎ−１）／２＞ｌｏｇ（０．５）／ｌｏｇ（１−１／３６５）

　　　　　　　　　　〜−３６５ｌｏｇ（０．５）

と近似する．左辺の２次式もｎ^2／２と近似すると，

　　ｎ^2＞−２ｌｏｇ（０．５）×３６５

　　ｎ＞（−２ｌｏｇ（０．５））^1/2×（３６５）^1/2

　　ｎ＞１．１７７４１×（３６５）^1/2〜１．１８×（３６５）^1/2

　ところで，

　　ｐn＝（１−１／ｄ）×（１−２／ｄ）×・・・×（１−（ｎ−１）／ｄ）

において，ｎがｄに比べて小さければ，テイラー展開より

　　１−ｋ／ｄ〜ｅｘｐ（−ｋ／ｄ）

　　Π（１−ｋ／ｄ）〜ｅｘｐ（−Σｋ／ｄ）

Σｋ＝ｎ（ｎ−１）／２であるから，

　　ｐ〜１−ｅｘｐ（−ｎ（ｎ−１）／２ｄ）

となる．

　［３］の結果は

　　ｐ〜１−ｅｘｐ（−ｎ（ｎ−１）／２ｄ）＞０．５

として

　　ｎ（ｎ−１）／２ｄ＞−ｌｏｇ（０．５）

としたものに等しいというわけである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【４】近似のし過ぎ

　ハルモスの概算公式は，ｃを定数として

　　ｃ＝（−２ｌｏｇ（０．５））^1/2〜１．１８

　　ｎ＞ｃ×（３６５）^1/2

というものであった．

　さらに，近似を進めて

　　ｐ〜１−ｅｘｐ（−ｎ（ｎ−１）／２ｄ）

　　　〜ｎ（ｎ−１）／２ｄ＞０．５

として計算すると，

　　ｎ^2＞３６５，ｎ＞（３６５）^1/2，ｃ＝１

となって，その誤差は小さくなく精度に問題が生ずる．過ぎたるは及ばざるがごとしというわけである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝