【１】二項定理

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

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(a+b)^n=a^n+(n,1)a^(n-1)b+(n,2)a^(n-2)b^2+・・・+b^n

(a+b)^n=Σ(n,r)a^(n-r)b^r

(a+b)^n=Σn(n-1)・・・(n-r+1)/r!・a^(n-r)b^r

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【２】ニュートンの一般化二項級

a=1,b=xとおくと

(1+x)^n=Σn(n-1)・・・(n-r+1)/r!・x^r

となるが、ニュートンはnが非正整数の場合にも一般化し、自身の微分積分法の基礎となした。任意の有理数ｎについても成り立つという主張であるが、1665年の一般化はニュートンの驚異の諸年のハイライトというべきものであった。1667年までの2年間に微分積分学、万有引力、色の理論という彼の三大発見の基礎を作り上げたのである。

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(1/2,0)=1,(1/2,1)=1/2,(1/2,2)=-1/8,(1/2,3)=1/16

(1+x)^1/2=1+1/2・x-1/8・x^2+1/16・x^3+・・・

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x+1/x=2/s

sx^2-2x+s=0

x={1-(1-s^2)^1/2}/s

(1+t)^a=1+(a,1)t+(a,2)t^2+(a,3)t^3+・・・

t=-s^2,a=1/2とすると

(1-s^2)^1/2=1-(1/2,1)s^2+(1/2,2)s^4-(1/2,3)s^6+・・・

{1-(1-s^2)^1/2}/s=(1/2,1)s-(1/2,2)s^3+(1/2,3)s^5+・・・

s^(2n-1)の係数は(1/2,n)=1/(2n-1)・(2n,n)・2^(-2n)となる

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