【３】ベンフォードの法則＝尺度不変性

　１９６１年，数学者ビンカムは「尺度不変性があれば，ベンフォードの法則が成立する」ことを証明しました．尺度不変性（scale invariance）＝パワー則ですが，驚いたことにベンフォードの法則はパワー則の表れ，すなわち，この世界には指数的に増加するものが多いということになります．

　　［参］Havil著，新妻弘監訳「オイラーの定数ガンマ」共立出版

にしたがえば，Ｎ桁の数字までの累積分布をＰ（Ｎ）とすると

　　ｐ（ｋ）＝∫(k,k+1)Ｐ（Ｎ）ｄＮ

と表されるのですが，ベンフォードの法則はＰ（Ｎ）としてベキ指数１のジップ分布

　　Ｐ（Ｎ）〜１／Ｎ

を仮定することにより

　　ｐ（ｋ）＝∫(k,k+1)Ｐ（Ｎ）ｄＮ＝ｌｏｇ10（１＋１／ｋ）

と再現できるというのです．

　それでは，最高位から２番目の数の出現頻度はどうなるか調べてみましょう．最高位の数がｋ1，次の位の数がｋ2となる確率は

　　ｌｏｇ10（１＋１／ｋ1ｋ2）

ですから，

　　Σｌｏｇ10（１＋１／ｋiｋ2）

で与えられます．

　最高位から２桁目の数がｋ2である確率は

　　０→０．１１９７，

　　１→０．１１３９，

　　２→０．１０８８，

　　３→０．１０４３，

　　・・・・・・・・・，

　　９→０．０８５０

となって，２桁目に最もよく出てくる数字は０ですが，個々の数字の出現確率にはあまり差がないことがわかかります．

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