それに対して，３次元以上の酔歩の母関数は複雑で求められそうにありませんでした．なお，ｄ次元超立方格子上のランダムウォークにおいては，

　　Σｕ2n＝（２π）^(-d)∫(-π,π)Re(1-φ(t))^(-1)dt

　　　　φ(t)：特性関数φ(t)

ですから，とくに，３次元の場合は，

　　Σｕ2n＝（２π）^(-3)∫(-π,π)（１−1/3Σｃｏｓt）^(-1)dt

　　　　　＝（√6/32π^3）Γ(1/24)Γ(5/24)Γ(7/24)Γ(11/24)

　　　　　＝１．５１６３８６０６・・・＜∞

となります．

　この計算はおそらく多変数の一般化超幾何関数？、準超幾何関数？を用いて行われるものと推測されますが，小生の力では歯がたちませんでした．いずれにせよ，この式も楕円積分とガンマ関数の関係を示すものになっていると思われます．

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調べてみたところ、弧の積分は1939年にワトソンによってはじめて計算され、楕円積分が元居られたとのことである。

β3=P(T＜∞)とおくと、

ΣP(Sn=0)=1/(1-β3)となり、β3=0.34053733・・・である。

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【３】特性関数を用いた再帰確率の計算

　　Durrett: Probability: theories and examples

にある結論だけ示しますと，ｄ次元超立方格子上のランダムウォークにおいては，

　　Σｕ2n＝（２π）^(-d)∫(-π,π)Re(1-φ(t))^(-1)dt

　　　　φ(t)：特性関数φ(t)

が成り立つというものです．

　とくに，３次元の場合は，

　　Σｕ2n

　＝（２π）^(-3)∫∫∫((-π,π)ｄｘｄｙｄｚ／（３−ｃｏｓｘ−ｃｏｓｙ−ｃｏｓｚ

　＝（２π）^(-3)∫(-π,π)（１−1/3Σｃｏｓt）^(-1)dt

　＝（√6/32π^3）Γ(1/24)Γ(5/24)Γ(7/24)Γ(11/24)

　＝１．５１６３８・・・

と評価され，したがって，

　　Σｆ2n＝（Σｕ2n−１）／Σｕ2n＝１−１／Σｕ2n

　　　　　＝０．３４０５３・・・

と計算できます．

　また，

　　Kondo and Hara (1987)

の文献からｄ次元格子上における酔歩の再帰確率ｐdを引用すると，

ｄ ｐd ｄ ｐd

1 1 13 .041919

2 1 14 .038657

3 .340537 15 .035869

4 .193201 16 .033458

5 .135178 17 .031352

6 .104715 18 .029496

7 .085844 19 .027848

8 .072912 20 .026375

9 .063447 30 .017257

10 .056197 40 .012827

11 .050455 100 .005050

12 .045789

　すなわち，３次元と４次元ランダムウォークの再帰確率は，正確には，

　　0.340537329550999...

　　0.193201673224984...

です．

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