Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)として、半径ｒのｎ次元超球の体積はＶnｒ^nで表されます。

　 ｎ次元超球の半径ｒ付近に幅2δの球殻を設けると、半径１+δと１−δの間の薄皮部分の体積は

　　ｖn((r+δ)^n-(r-δ)^n)=ｖn(r^n(1+δ/r)^n-r^n(1-δ/r)^n)

δ/r＜＜1のとき、（すなわちδ=rε）

ｖn((r+δ)^n-(r-δ)^n)=ｖn(r^n(1+δ/r)^n-r^n(1-δ/r)^n)〜ｖn(r^n・2nδ/r)

これは表面積x2δに等しいはずである。

nvnr^(n-1)・2δ=nvnr^(n)・2ε・・・OK

Durrettの確率論ではこれが立方体[-1,1]^2の体積2^nとほぼ等しいときのｒを問題にしていて、r〜√(n/3)としている。

本当だろうか？

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nvnr^(n)・2ε＝2^nとおくと

r^n=2^n/2nεvn

nが大きいとき,スターリングの公式より

vn=π^(n/2)/{√(2・n/2・π)・(n/2e)^(n/2)}=(2πe/n)^(n/2)/√(nπ)

であるから

1/vn=√(nπ)/(2πe/n)^(n/2)

2^n/vn=(2n/πe)^(n/2)・√(nπ)

2^n/2nεvn=(2n/πe)^(n/2)・√(nπ)/2nε

εをどのように扱えばいいのかよくわからないのであるが、ｎ＞πｅ＝８．５３９・・・のときなどを考えることができる。

Durrettの確率論では

(2n/πe)^(n/2)・√(nπ)/2nε〜(n/3)^(n/2)

r〜√(n/3)の球殻の体積は高次元立方体の体積に近いとしているのである

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