exp(-xy)sinxが帯領域0＜x＜a、0＜上で積分可能であり、重積分を2通りの順序で実行することにより,

∫(0,a)sinxdx/x=arctan(a)-(cosa)∫(0,∞)exp(-ay)dy/(1+y^2)-(sina)∫(0,∞)yexp(-ay)dy/(1+y^2)

を示すことができる。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

(1+y^2)を１に置き換えることにより、a≧1に対して不等式

|∫(0,a)sinxdx/x-arctan(a)|≦2/a

が成り立つ。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝