３・５＝１５＝１７−２

　　３・５・１７＝２５７−２

　　３・５・１７・２５７＝Ｆ0Ｆ1Ｆ2Ｆ3＝Ｆ4−２＝６５５３７−２

　　３・５・１７・２５７・６５５３７＝Ｆ0Ｆ1Ｆ2Ｆ3Ｆ4−２＝Ｆ5−２

＝４２９４９６７２９７−２

はユークリッド数を定義した漸化式とよく似ている．

　フェルマー数は簡単な漸化式Ｆn ＝Ｆ0 Ｆ1 ・・・Ｆn-1＋２＝（Ｆn-1 −１）^2＋１を満たしています．この式から

　　Ｆn −２＝Ｆn-1 （Ｆn-1 −２）＝・・・＝Ｆ0 Ｆ1 ・・・Ｆn-1

言い換えれば，Ｆn −２はそれより小さいすべてのフェルマー数で割り切れることがわかります．

　　３・５・１７・２５７

＝Ｆ0 Ｆ1 Ｆ2Ｆ3＝Ｆ4−２＝６５５３５

＝Ｆ3（Ｆ3−２）＝（Ｆ3−１）^2−１

　もし，Ｆ4＝６５５３７を知っていれば，即座に６５５３５と答えられるというわけです．

　　３・５・１７・２５７・６５５３７

＝Ｆ0 Ｆ1 Ｆ2Ｆ3Ｆ4＝Ｆ5−２＝４２９４９６７２９５

＝Ｆ4（Ｆ4−２）＝（Ｆ4−１）^2−１

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【１】フェルマー乗積の証明

　　Ｆn −２＝Ｆn-1 （Ｆn-1 −２）＝・・・＝Ｆ0 Ｆ1 ・・・Ｆn-1

（証）Ｆn −２＝２^(2^n)−１

＝（２^(2^n-1)−１）（２^(2^n-1)＋１）

＝（２^(2^n-1)−１）Ｆn-1

＝（２^(2^n-2)−１）Ｆn-2Ｆn-1

＝ΠＦk

（証）Ｆn＝２　　（ｍｏｄ　Ｆm）

　　　ｇｃｄ（Ｆn，Ｆm）＝ｇｃｄ（２，Ｆm）＝１

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【２】フェルマー数が互いに素であることの証明

　Ｆm，Ｆnは共通する素因数ｐをもつと仮定すると，

　　２＝Ｆn−ΠＦk

より，ｐ＝２である．

　しかし，フェルマー数は奇数であるから矛盾．

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