ピタゴラス学派は素数は無限個あることを発見した。しかし、その証明は背理法によるものではなかった。

何個か素数があったら、全部かけて1を足したものを作り、それを割り切る一番小さい数は素数であり、しかも新しい素数であるというものである。

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例えば、素数２から始めてみると

　　ｅ1＝２＋１＝３　　（これを割り切る最小の素数は３）

　　ｅ2＝２・３＋１＝７　　（これを割り切る最小の素数は７）

　　ｅ3＝２・３・７＋１＝４３　　（これを割り切る最小の素数は４３）

　　ｅ4＝２・３・７・４３＋１＝１８０７＝１３・１３９　　（これを割り切る最小の素数は１３）

　　ｅ5＝２・３・７・４３・１３＋１＝２３４７９＝５３・４４３　　（これを割り切る最小の素数は１３）

　　ｅ6＝２・３・７・４３・１３・５３＋１＝１２４４３３５＝５・２４８８６７　　（これを割り切る最小の素数は５）

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1を足したものを作りるのではなく、２を足すことにする。素数3から始めてみると

　　ｅ1＝3＋２＝５　　（これを割り切る最小の素数は５）

　　ｅ2＝３・５＋２＝１７　　（これを割り切る最小の素数は１７）

　　ｅ3＝３・５・１７＋２＝２５７　　（これを割り切る最小の素数は２５７）

　　ｅ4＝３・５・１７・２５７＋２＝６５５３７　　（これを割り切る最小の素数は６５５３７）

　　ｅ5＝３・５・１７・２５７・６５５３７＋２＝６４１・６７００４１７　　（これを割り切る最小の素数は６４１）

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3-5-17-257-65527は有名なフェルマー素数である。またまだ５個しか発見されていない。

素数列

3-5-17-257-65527-641-・・・にはすべての奇素数が現れると考えられているが、未解決である。

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