オイラー数（オイラーの分割数）

　　f(x)=Π(1-x^n)^(-1)={(1-x)(1-x^2)･･･(1-x^n)･･･}^(-1)

　　　　=Σp(n)x^n=1+p(1)x+p(2)x^2+p(3)x^3+･･･

すなわち，Π(1-x^n)^(-1)は分割数p(n)の母関数なのですが，それと同様にして，ラマヌジャン数を代数的に定義できます．

　　f(x)=xΠ(1-x^n)^24=x{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)･･･}^24

　　　　=Στ(n)x^n=τ(1)x+τ(2)x^2+τ(3)x^3+･･･

　ラマヌジャンは，デデキントのイータ関数（重さ1/2をもつモジュラー関数），

　　η(z)=q^(1/24)Π(1-q^n),q=exp(2πiz)

とおくと

　　Δ(z)＝η(z)^24＝qΠ(1-q^n)^24＝Στ(n)q^n

ｚは虚部が正の複素数で，q=exp(2πiz)

を考え，そのフーリエ係数τ(n)を計算しました．

　　τ(1)=1,τ(2)=-24,τ(3)=252,τ(4)=-1472,τ(5)=4830,τ(6)=-6048,

　　τ(7)=-16744,τ(8)=84480,τ(9)=-113643,τ(10)=-115920,

　　τ(11)=534612,τ(12)=-370944,･･･

　無限積をベキ級数に展開した式（フーリエ展開）が登場しましたが，このΔ(z)は，重さ１２の保型形式

　　Δ(az+b/cz+d)=(cz+d)^12Δ(z)

と呼ばれるものになっていて，オイラーの五角数公式を拡張した２４乗版と考えられます．

　ラマヌジャンの考えた

　　Δ(z)＝η(z)^24＝qΠ(1-q^n)^24＝Στ(n)q^n

は保型形式論の端緒となったものですが，ラマヌジャン数τ(n)にはセルバーグの跡公式によるもの（１９５２年）など他にもさまざまな表示があります．

　たとえば，物理学者ダイソンによる表示は

　　τ(n)＝Σ(a-b)(a-c)(a-d)(a-e)(b-c)(b-d)(b-e)(c-d)(c-e)(d-e)/1!2!3!4!

　　　　(a,b,c,d,e)=(1,2,3,4,5)mod5

　　　　a+b+c+d+e=0,a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=10n

というように組合せ的に表現されます（１９６８年）．

　この和は有限和であり，ｎ＝１のときは（ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ）＝（１，２，−２，−１，０）のみですから，τ(1)=1となることが確かめられます．この表示式は１９７０年代になってマクドナルドやカッツによって無限次元リー環の表現論（指標公式）から導かれることが判明しました．

　今回のコラムでは，このことと関連して，ダイソンやマクドナルドの定数項予想について紹介してみたいと思います．

　　［参］三町勝久「ダイソンからマクドナルドまで」群論の進化・第４章，朝倉書店

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【１】ダイソンの定数項予想

　ヒルベルトは，リーマンのゼータ関数ζ（ｓ）の零点がランダム・エルミート行列の固有値のように分布していると推測し，１９１５年頃，ポリアとともにゼータ関数の零点をスペクトルとして解釈できないだろうかと提案した．

　ヒルベルトの推測したランダム・エルミート行列と同種の行列は，後になって，その固有値が核子のエネルギーレベルに対応している原子核物理学の研究によく出てくることがわかった．このエネルギーレベルの差として得られる分布はウィグナー分布と呼ばれるものであるが，ウィグナー分布についてはコラム「ゼータ関数の零点分布と量子カオス」を参照されたい．

　このように「ランダム行列」はウランなどの巨大原子核の励起状態を調べるために考え出されたものであるが，１９６０年代初め，量子力学や宇宙論の研究で有名な物理学者ダイソンはランダム行列の研究を行い，分配関数

　　Ψn（β）＝(1/2π)^n∫(0-2π)・・・∫(0-2π)Π｜exp(ｉθi)−exp(ｉθj)｜^βｄθ1・・・ｄθn

において

　　β＝１のとき→直交アンサンブル（ＧＯＥ）

　　β＝２のとき→ユニタリーアンサンブル（ＧＵＥ）

　　β＝４のとき→シンプレクティックアンサンブル（ＧＳＥ）

と名づけた．βは結合定数で，自由電子の場合はβ＝１で与えられる．

　このとき，ダイソンはβが整数の場合について

　　Ψn（１）＝Γ(1+n/2)／Γ^n(3/2)

　　Ψn（２）＝ｎ！＝Γ(1+n)／１^n

　　Ψn（４）＝２^(-n)・２ｎ！＝Γ(1+2n)／２^n

という結果を導き出し，

　　Ψn（β）＝Γ(1+nβ/2)／Γ^n(1+β/2)＝(nβ/2)!/{(β/2)!}^n

なる予想をたてた．

　また，固有値exp(ｉθi)＝ｘiと変数変換し，β＝２ｋとすると

　　｜exp(ｉθi)−exp(ｉθj)｜^β＝（１−ｘj／ｘi）^k（１−ｘi／ｘj）^k

　　ｄθi＝１／ｉｄｘi／ｘi

より

　　Ψn（β）＝(1/2πｉ)^n�刀E・・�塔ｮ（１−ｘj／ｘi）^kｄｘ1／ｘ1・・・ｄｘn／ｘn

　ここで，被積分関数はｎ変数のローラン多項式であること，また，留数定理によりΨn（β）の値はローラン多項式から定数項をとることで得られることから，Π（１−ｘj／ｘi）^kの定数項に等しくなることがわかる．

　すなわち，ダイソンの予想は

　　Π（１−ｘj／ｘi）^kの定数項＝(nk)!/(k!)^n

と同値である．

ａ）ｎ＝１の場合は明らか．

ｂ）ｎ＝２の場合は

　　（１−ｘ1／ｘ2）（１−ｘ2／ｘ1）＝−ｘ1／ｘ2＋２−ｘ2／ｘ1

　　（１−ｘ1／ｘ2）^2（１−ｘ2／ｘ1）^2＝（ｘ1／ｘ2）^2−４ｘ1／ｘ2＋６−４ｘ2／ｘ1＋（ｘ2／ｘ1）^2

　　（１−ｘ1／ｘ2）^3（１−ｘ2／ｘ1）^3＝・・・−１５ｘ1／ｘ2＋２０−１５４ｘ2／ｘ1＋・・・

となって，定数項は(2β-1,β-1)となることが予想されるが，ｋが任意の整数の場合は，２項定理

　　Σ(k,i)^2=(2k,k)=(2k)!/(k!)^2

を用いて証明できる．

ｃ）ｎ＝３の場合は

　　Σ(-1)^j(2k,k+j)^3=(3k)!/(k!)^3　　　（ディクソン，１８９１年）

と同値である．

　　Σ(k,i)^2=(2k,k)=(2k)!/(k!)^2

との類似性に注意されたい．

　ディクソンの恒等式の拡張が

　　Σ(-1)^j(a+b,a+j)(b+c,b+j)(c+a,c+j)=(a+b+c)!/a!b!c!

であるが，さらにこのことからダイソンは

　　Π（１−ｘk／ｘj）^aiの定数項＝(a1+a2+･･･+an)!/a1!a2!･･･an!

なる予想にたどりついた．

　すなわち，右辺は多項定理

　　(x+y+z+･･･)^n=Σkn･x^a･y^b･z^c･･･ (a+b+c+･･･=n)

の係数

　　kn=(a+b+c+･･･+n)

　　 (a,b,c,･･･,n)

に等しいという美しい予想である．この予想の証明は見かけほど易しいものではないらしいのだが，ダイソンはこの予想の成立を強く確信していたに違いない．

ｄ）ｎ＝４の場合の証明はそれほど易しいものではないが，ダイソンはｎ＝４，５の場合をなんとか証明した．一般のｎについてはうまく証明できなかったのだが，この予想はほどなくウィルソン，ガンソン，グッドにより独立に証明されることとなったのである．

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【２】マクドナルドの定数項予想

　定数項予想を１次元格子上の問題と理解すると，アフィン・リー環の指標公式を用いて，より一般の格子（リー環のウェイト格子）上の問題に構成するという道筋がみえてくる．そして実際にルート系との関係を見抜いたのがマクドナルドである．

　ワイル群の基本不変式の次数をｄ1，ｄ2，・・・，ｄn-1，ｄnとすると

　　　　　　　　　ｄ1，ｄ2，・・・，ｄn-1，ｄn

　　Ａn 型　　　　２，３，・・・・，ｎ，ｎ＋１

　　Ｂn，Ｃn型　　２，４，，・・・，２（ｎ−１），２ｎ

　　Ｄn 型　　　　２，４，・・・・，２ｎ−２，ｎ

　マクドナルドによると，

　　ルート系の定数項＝Π（ｋｄi，ｋ）

であり，例えば，Ａn-1型ワイル群の基本不変式の次数はｄ1＝２，・・・ｄn-1＝ｎより

　　Π(kdi,k)=(2k,k)(3k,k)･･･(nk,k)=(nk)!/(k!)^n

この式はダイソンの定数項予想の式に一致する．

　同様に，

　　Ｂn型：(2k)!(4k)!･･･(2nk)!/{k!(3k)!･･･((2n-1)k)!(k!)^n}

　　Ｃn型：(2k)!(4k)!･･･(2nk)!/{k!(3k)!･･･((2n-1)k)!(k!)^n}

　　Ｄn型：(2k)!(4k)!･･･(2nk)!/{k!(3k)!･･･((2n-3)k)!((n-1)k)!((k!)^n}

となる．これらの統一的な表記法も知られているが，詳細については

　　［参］三町勝久「ダイソンからマクドナルドまで」群論の進化・第４章，朝倉書店

を参照されたい．

　マクドナルドの定数項予想は，ダイソンの定数項予想はＡk型離散系という特定のルート系の理論であって，それ以外の離散系に対応するのはＢk，Ｃk，Ｄkの理論であることを主張している．マクドナルドはもっと美しい世界があることに気がついたのである．

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［補］線形代数はＡkという特定のルート系の理論であり，ユークリッド空間やシンプレクティック空間の幾何に対応するのはＢk，Ｃk，Ｄkの理論です．実数版→複素数版→４元数版ときましたが，そこでの理論の多くは，例外型の結晶群（Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2）に対してだけでなく，結晶群でないユークリッド鏡映群（Ｉ2(p)，Ｈ3，Ｈ4）に対しても成り立ちます．

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