【１】チェビシュフ多項式

　ド・モアブルの定理：

　　（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）^n＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ

の左辺を２項展開して，両辺の実部，虚部を比較すると

　　ｃｏｓｎθ＝（ｃｏｓθ）^n－nＣ2（ｃｏｓθ）^n-2（ｓｉｎθ）^2＋・・・＝（ｃｏｓθのｎ次多項式）＝Ｔn（ｃｏｓθ）

　　ｓｉｎｎθ＝nＣ1（ｃｏｓθ）^n-1ｓｉｎθ－nＣ3（ｃｏｓθ）^n-3（ｓｉｎθ）^3＋・・・＝ｓｉｎθ×（ｃｏｓθのｎ－１次多項式）＝ｓｉｎθ×Ｕn（ｃｏｓθ）

を得る．

　また，

　　ｃｏｓｎθ＝ｃｏｓθｃｏｓ（ｎ－１）－ｓｉｎθｓｉｎ（ｎ－１）θ

　　ｓｉｎｎθ＝ｓｉｎθｃｏｓ（ｎ－１）＋ｃｏｓθｓｉｎ（ｎ－１）θ

より，漸化式

　　Ｔn（ｃｏｓθ）＝ｃｏｓθＴn-1（ｃｏｓθ）－（ｓｉｎθ）^2Ｕn-1（ｃｏｓθ）

　　Ｔn（ｃｏｓθ）＝ｃｏｓθＴn-1（ｃｏｓθ）＋（（ｃｏｓθ）^2－１）Ｕn-1（ｃｏｓθ）

　　Ｕn（ｃｏｓθ）＝Ｔn-1（ｃｏｓθ）＋ｃｏｓθＵn-1（ｃｏｓθ）

　　Ｔn（ｃｏｓθ）＝２ｃｏｓθＴn-1（ｃｏｓθ）－Ｔn-2（ｃｏｓθ）

　　Ｕn（ｃｏｓθ）＝２ｃｏｓθＵn-1（ｃｏｓθ）－Ｕn-2（ｃｏｓθ）

が成り立つ．

　ここで，ｃｏｓθ＝ｘの多項式で表すと，チェビシュフ多項式は

　　Ｔn（ｘ）＝２ｘＴn-1（ｘ）－Ｔn-2（ｘ）

　　Ｕn（ｘ）＝２ｘＵn-1（ｘ）－Ｕn-2（ｘ）

となり，前述の漸化式と一致していることがわかる．

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　以下，チェビシェフ多項式を示しておく．

Ｔ0（ｘ）＝１　　　　　　　　 Ｕ0（ｘ）＝１　　　　　　　　

Ｔ1（ｘ）＝ｘ　　　　　　　　 Ｕ1（ｘ）＝２ｘ　　　　　　　　

Ｔ2（ｘ）＝２ｘ^2－１　　　　 Ｕ2（ｘ）＝４ｘ^2－１　　　　

Ｔ3（ｘ）＝４ｘ^3－３ｘ　　　 Ｕ3（ｘ）＝８ｘ^3－４ｘ　　　

Ｔ4（ｘ）＝８ｘ^4－８ｘ^2＋１ Ｕ4（ｘ）＝１６ｘ^4－１２ｘ^2＋１

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