１９７４年にイギリスの数理物理学者ペンローズの発見した２種類の菱形を組み合わせて平面を非周期的に敷きつめるものが最も構成要素の少ないものです．ここでは３種類の菱形による非周期的平面充填を考えます。

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【１】３種類の菱形による非周期的平面充填

　凧と矢を用いたペンローズの非周期的タイル貼りは５回回転対称が現れる．凧と矢よろも２種類の菱形（７２°−１０８°，３６°−１４４°）で代替した方がわかりやすいが，パターン全体にわたって正十角形が現れるのである．すべての正十角形は同じ方向を向いていて，長距離配向秩序を示している．

　２種類の菱形は（２π／５−３π／５，π／５−４π／５）は正十角形の中心角π／５から導かれたものである．もし７回回転対称にしたければ正十四角形の中心角π／７から導かれた３種類の菱形（π／７−６π／７，２π／７−５π／７，３π／７−４π／７）を使うとよいことがわかる．

　パターン全体にわたって正十四角形が現れるのである．すべての正十角形は同じ方向を向いていて，長距離配向秩序を示すことになり，ペンローズ・タイル貼りに見た目がよく似たものができる．

　もちろん，８回回転対称，９回回転対称，さらに高次のペンローズ・タイル貼りも同様の方法で作ることができる．また，ペンロ＾ズ・タイルの３次元版が黄金菱形６面体による，非周期的空間充填である．　

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