■亀とプロペラとソロバン珠(その21)

【1】非周期的な平面充填

 平行移動の周期がない非周期的平面充填については多くの研究がなされています.最初に発見された非周期的タイルの集合は20426個の原型から構成されているものでした(1966年,バーガー).彼はすぐに枚数を104枚に減らしました.

 1971年,ロビンソンは6枚のタイルの非周期的組み合わせを発見しました.その後,1974年にイギリスの数理物理学者ペンローズの発見した2種類の菱形を組み合わせて平面を非周期的に敷きつめるものが最も構成要素の少ないものです.

 ペンローズタイルと呼ばれるこの敷きつめかたは,正五角形のような5重の対称性がありますが,隙間を生じません.

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[1]1966年,バーガーは20426種類のタイルの組み合わせを発見したが,その後,彼自身でその数を104まで減らした.

[2]レウフリは40にまで減らした.

[3]ロビンソンは6種類にまで減らした.

[4]1973年,ペンローズはその数を2にまで減らした.

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 非周期的にしか平面を充填できない,たった1種類のタイルは存在するか? ただし,鏡で反転させたものは使って構わないとする.

 答えはイエスだ.

[5]2010年,スカラーとテイラーはそのようなタイル貼りをを見つけた.

[参]J. E. S. Socolar and J. M. Taylor, An aperiodic hexagonal tile, Journal of Combinatorial Theory

18 (2011), 2207-2231.

[参]J. E. S. Socolar and J. M. Taylor, Forcing nonperiodicity with a single tile, to appear in Mathematical Intelligencer 33 (2011).

 なお,この非周期的タイリングは付き合わせ条件が必要な場合であって,付き合わせ条件がない凸多角形の問題ではありません.

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