2011年、スカラーとテイラーは正六角形から生まれる１種類の図だけで構成される非周期的タイル集合を発表しました。

この図形は1点だけでつながった腕を持っていて、その腕を絡ませながら平面を繰り返し模様がないようにタイル貼りします。

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［Ｑ］１個の要素からなる非周期的集合（付き合わせ条件があっても，なくてもよい）があるか？

［Ａ］実は１種類の場合が見つかっています．Joshua E. S. SocolarとJoan M. Taylorが示した非周期六角形タイルは，この問題（Einstein problem）の肯定的な解決になっています．つまり「２個の要素からなる非周期的集合」がペンローズ・タイルであり，「１個の要素からなる非周期的集合」がこの問題の解というわけです．

［参］J. E. S. Socolar and J. M. Taylor, An aperiodic hexagonal tile, Journal of Combinatorial Theory 18 (2011), 2207-2231.

［参］J. E. S. Socolar and J. M. Taylor, Forcing nonperiodicity with a single tile, to appear in Mathematical Intelligencer 33 (2011).

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杉本晃久さんより興味深い連絡が届いた…

ついにaperiodic monotile（１種類の多角形で，非周期にしかタイル張りができない多角形タイル）が見つかったようです．それもペンローズタイルのような特別なマッチングルールをもない凹多角形です．

＜注意＞これは亀ではなく、帽子と呼ばれる非周期的タイル集合である。

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