合同な正多面体（ｐ，ｑ）の各面が２つの（ｐ，ｑ）に属し，各辺がｒ個の（ｐ，ｑ）に属すとしよう．（その２）ではｐ，ｑ，ｒに関する１次不等式

　　１／ｐ＋１／ｑ＞１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

　　１／ｑ＋１／ｒ＞１／２　　　（ｑ，ｒ≧３）

によって，４次元正胞体は６種類あることを証明したが，２次不等式

　　ｐ−４／ｐ＋２ｑ＋ｒ−４／ｒ＜１２

　　ｐ−４／ｐ＜１２−２ｑ−ｒ＋４／ｒ

　　ｐ^2−（１２−２ｑ−ｒ＋４／ｒ）ｐ−４＜０

によっても正則胞体を定めることができるはずである．

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【１】１次不等式による証明

　立方体（４，３）の２面角は直角であるから，１本の辺のまわりに４個の立方体で隙間なく空間を充填します．しかし，（４，３，４）では無限の多面体になってしまいますから，超立方体（４，３，３）は有限胞体になります．すなわち，３次元空間内において立方体｛４，３｝が面を共有しあいながら各辺の周りに４個ずつ集まると３次元立方格子｛４，３，４｝＝無限充填図形となります．

　同様に，正４面体（３，３）の２面角は７１°より少し小さいので，１本の辺に３，４，５個の正４面体を置くことができます．→（３，３，３），（３，３，４），（３，３，５）

　正８面体と正１２面体の２面角は，９０°と１２０°の間にあるので，１辺の周囲には３個の正多面体が置けます．→（３，４，３），（５，３，３）　正２０面体の２面角は１２０°より大きいので，このようなことはできません．

　　１／ｐ＋１／ｑ＞１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

　　１／ｑ＋１／ｒ＞１／２　　　（ｑ，ｒ≧３）

　結局，正多胞体の可能性としては（３，３，３），（３，３，４），（３，３，５），（４，３，３），（３，４，３），（５，３，３）しかあり得ないことがわかります．

　これらを一般的な計量条件式として表すならば，正多面体（ｐ，ｑ）の２面角は，

　　２ｓｉｎ^(-1)（ｃｏｓ（π／ｑ）／ｓｉｎ（π／ｐ））

このような角ｒ個の和が２πより小さくなくてはならないことから，

　　ｃｏｓ（π／ｑ）＜ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｒ）

　　ｃｏｓ（π／ｑ）＜ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｒ）≦ｓｉｎ（π／ｐ）

すなわち，

　　ｓｉｎ（π／２−π／ｑ）＜ｓｉｎ（π／ｐ）

より，

　　１／ｐ＋１／ｑ＞１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

同様に，

　　１／ｑ＋１／ｒ＞１／２　　　（ｑ，ｒ≧３）

が導かれます．

　なお，３次元空間充填であるためには，等式

　　ｃｏｓ（π／ｑ）＝ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｒ）

が成り立たなくてはならないので，３以上の整数解は立方体による空間充填（４，３，４）だけなのです．

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【２】２次不等式による証明

　２次不等式

　　ｐ^2−（１２−２ｑ−ｒ＋４／ｒ）ｐ−４＜０

において，

(1)ｑ＝ｒ＝３とおくと

　　ｐ＜（１３＋√３１３）／６＝５．１１５３

より，｛ｐ，ｑ，ｒ｝＝｛３，３，３｝，｛４，３，３｝，｛５，３，３｝

(2)ｑ＝３，ｒ＝４とおくと

　　ｐ＜４

より，｛ｐ，ｑ，ｒ｝＝｛３，３，４｝．なお，｛４，３，４｝は３次元立方格子になる．

(3)ｑ＝４，ｒ＝３とおくと

　　ｐ＜（７＋√１９３）／６＝３．４８・・・

より，｛ｐ，ｑ，ｒ｝＝｛３，４，３｝．

(4)ｑ＝３，ｒ＝５とおくと

　　ｐ＜（９＋√４８１）／１０＝３．０９・・・

より，｛ｐ，ｑ，ｒ｝＝｛３，３，３｝．

(5)ｑ＝５，ｒ＝３とおくと

　　ｐ＜（１＋√１４５）／６＝２．１７・・・

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【補】３次元・４次元・５次元の図形で２辺角・２面角・２体角の和が２πとなってフラットになったとき，２次元・３次元・４次元の無限充填図形となる．

　４次元空間において正多胞体｛ａ，ｂ，ｃ｝が胞を共有しあいながら各面の周りにｄ個ずつ集まる４次元空間充填図形を｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ｝と書くことにすると，これには４次元立方格子｛４，３，３，４｝，正１６胞体格子｛３，３，４，３｝，正２４胞体格子｛３，４，３，３｝の３種類がある．

　３次元空間を埋め尽くす正多面体は立方体のみである．５次元以上の空間でもｎ次元立方体のみが空間充填図形となるのに対して，４次元空間の充填図形は多彩である．

　また，２種類以上の正多胞体の組み合わせで各辺の周りに一定の状態で集まる空間充填としては，３次元空間内において正４面体と正８面体が交互に集まるものがあるが，この４次元版は正１６胞体単独による空間充填｛３，３，４，３｝となってしまう．４次元以上の空間で２種類以上の正多胞体の組み合わせによる空間充填図形は存在しないことになる．

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