３次元凸集合に対し，表面積をＳ，体積をＶとすると，

　　Ｓ^3／Ｖ^2≧３６π＝１１３．１０

が成り立ちます．等号成立は球のときだけで，すべての立体中で球が表面積に対して最大の体積をもっています．

　それでは，ｆ個の面をもつ多面体の中で等周比の最小値を与えるものは何でしょうか？

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【１】メディアル多面体

（Ｑ）等周比の点からいえば，５種の正多面体では正４面体が最も球に遠く，正２０面体が最も球に近いことになります．それでは，ｆ個の面をもつ多面体の中で等周比の最小値を与えるものは何でしょうか？

（Ａ）答えはｆ＝４，６，１２ではプラトンの正多面体，すなわち，正四面体，立方体，正十二面体が最小値をとります．しかし，ｆ＝８で等周比の最小値をあたえるものは正八面体ではありません．

　フェイェシュ・トートの「配置の問題−平面・球面・空間における−」みすず書房にはｆ＝８で等周比の最小値をあたえるものはアルキメデスの反プリズムとあったと記憶しているのですが，マイケル・ゴールドバーグの論文：

　　M. Goldberg: The isoperimetric problem for polyhedra, Tohoku Math. J. 40, 226-236(1935)

には四角形４枚，五角形４枚からなるメディアル多面体（４^4５^4）が極値を与えることが紹介されています．

　　　　　　　　　　等周比

　　正八面体　　　　１８７．０６

　　六角柱　　　　　１８７．０６

　　歪重角錐　　　　１８１．５５

　　４^4５^4　　　　１８０．２３

　　Ｓ^3／Ｖ^2≧５４（ｆ−２）ｔａｎ（ωf）（４ｓｉｎ^2（ωf）−１）＝１７７．４５

ただし，等号は３稜頂点多面体に対してのみ成り立つことに注意して下さい．一方，３角形多面体に関しては

　　Ｓ^3／Ｖ^2≧５４（ｆ−２）（３ｔａｎ^2（ωf）−１）

　同様にｆ＝２０も未解決のまま残っていますが，五角形１２枚，六角形８枚からなるメディアル多面体（５^12６^8）が極値を与えることが紹介されています．

　　　　　　　　　　等周比

　　正二十面体　　　１３６．４６

　　５^12６^8 　　　１３３．３１

　これらのことからゴールドバーグは最小値はメディアル多面体（どの面も［６−１２／ｆ］角形または［６−１２／ｆ］＋１角形）のとき達成されると予想しました．ｆ≧１２のとき，メディアル多面体の構成は５^12６^(f-12)になります．

［補］ｆ＝１０のとき，等周比の最小値はねじれ重角錐台（４^8４^2：シリコンフラーレン），ｆ＝３２では切頂２０面体（サッカーボール），ｆ＝４２では切稜１２面体により達成される．

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【２】ゴールドバーグの１４面体

　１４面体というと，重角錐台型（４^12６^2）やねじれ重角錐台型（５^12６^2）も考えられます．ねじれ重角錐台型はケルビンの１４面体と区別するために「ゴールドバーグの１４面体」と呼ばれています．

　　　　　　　　　　　　　　　　　五角形面　　平均会合面数　　空間分割

　　α−１４面体（４^6６^8）　　　　なし　　　　５．１４３　　　　可

　　β−１４面体（４^2５^8６^4）　　あり　　　　５．１４３　　　　可

　　重角錐台 （４^12６^2）　　　　　なし　　　　４．２８６　　　不可

　　ねじれ重角錐台 （５^12６^2）　　あり　　　　５．１４３　　　不可

　ｆ≧１２のとき，メディアル多面体の構成は５^12６^(f-12)になります．ｆ＝１４のときは５^12６^2型のねじれ重角錐台（truncated double skew pyramid）となります．

　もし，ゴールドバーグの予想が正しければ，ｆ＝１４のときの等周比の最小値はケルビンの１４面体（４^6６^8）ではなく，ゴールドバーグの１４面体（５^12６^2）によって達成されることになります．

　　　　　　　　　　等周比

　　４^6６^8　　　　１５０．１２３

　　５^12６^2 　　　１４３．８９

　ゴールドバーグの１４面体はspace fillerではありませんが，ウィア・フェランの１４面体のところにでてくる多面体です．

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