正則とは限らない一般の多面体では

　　Σｐi＝ｐ1＋・・・＋ｐf＝２ｅ，

　　Σｑi＝ｑ1＋・・・＋ｑv＝２ｅ

となります．

　オイラーの多面体定理は，８個の凸なデルタ多面体が存在することの証明の基礎にもなります．デルタ多面体では，ｐi＝３，３≦ｑi≦５ですから

　　３ｆ＝２ｅ　　　（ｆは偶数）

　　３ｖ≦２ｅ≦５ｖ

これをオイラーの多面体定理

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

に代入すると

　　６≦ｅ≦３０

　これより

　　４≦ｆ≦２０，（３≦ｖ≦２０）

が得られます．３ｆ＝２ｅよりｆは偶数ですから，４面体から２０面体までの偶数多面体がデルタ多面体の候補となります．このように下限・上限が求められるとそれを実際に構成する際に非常に有用となります．

　　　ｆ　　　　　　ｅ　　　　　　ｖ

　　　４　　　　　　６　　　　　　４

　　　６　　　　　　９　　　　　　５

　　　８　　　　　１２　　　　　　６

　　１０　　　　　１５　　　　　　７

　　１２　　　　　１８　　　　　　８

　　１４　　　　　２１　　　　　　９

　　１６　　　　　２４　　　　　１０

　　１８　　　　　２７　　　　　１１

　　２０　　　　　３０　　　　　１２

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【１】Δ18の非存在証明

　ｋ枚の面が集まる頂点の個数をｖkとすると，ｋ＝３，４，５であるから，

　　３ｖ3＋４ｖ4＋５ｖ5＝２ｅ＝３ｆ

　オイラーの定理より

　　ｖ3＋ｖ4＋ｖ5−３ｆ／２＋ｆ＝２

　　ｖ3＋ｖ4＋ｖ5＝ｆ／２＋２

左辺は整数であるからｆは偶数，また，

　　５ｖ3＋５ｖ4＋５ｖ5＝５ｆ／２＋１０

　　３ｖ3＋３ｖ4＋３ｖ5＝３ｆ／２＋６

より，

　　２ｖ3＋ｖ4＝１０−ｆ／２≧０→ｆ≦２０

　　ｖ4＋２ｖ5＝３ｆ／２−６≧０→ｆ≧４

　ｆ＝１８とすると

　　３ｖ3＋４ｖ4＋５ｖ5＝５４

　　２ｖ3＋ｖ4＝１

　　ｖ4＋２ｖ5＝２３

→（ｖ3，ｖ4，ｖ5）＝（０，１，１０）

　ｖ4を考えると底面に四角形の穴が開く．底面の各頂点は次数５であるから，各辺を共有する面４枚と各頂点を共有する面４枚が存在し，底で再び四角形の穴が残る．頂点の次数が５であることより各辺に１枚ずつ面が付いて，各頂点は閉じなければならないが，次数４の頂点で閉じることになる．→ｖ4＝１であるから矛盾．

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