数え上げの講演をもう１題。

ヨハネス・シェンケ先生は自作のプログラムでデルタ多面体の数え上げ問題に取り組まれた。

凸多面体に限定せず、かつ、正四面体を張り付ける形での拡大を認めない場合、元となる原始デルタ多面体は数種類に限定された。この条件で数え上げを行うと、

頂点数９の場合、4通り

頂点数10の場合、12通り、などなど

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【２】デカルトの定理（デルタ多面体の必要条件）

　凸多面体の頂点で，そこに集まる面角の和は２πより小さくならなければなりません．その不足量を

　　δ＝２π−Σ（面角）

とすると，不足量の和は４πに等しいというのが，デカルトの定理です．

　　Σδ＝４π

（証）ｎ辺をもつ面の数をｆnとおく．ｆ＝Σｆn，ｅ＝1/2Σｎｆn．また，ｎ辺形の面角の和は（ｎ−２）πであるから，

　　Σδ＝２πｖ−Σ（ｎ−２）πｆn

　　　　＝２πｖ−πΣｎｆn＋２πΣｆn

　　　　＝２π（ｖ−ｅ＋ｆ）＝４π

　デルタ多面体では各頂点に３，４，５個の正三角形が集まるので，その頂点での不足量はπ，２π／３，π／３のいずれかになる．頂点にｎ個の正三角形が集まる頂点をｖnとし，

　　ａ＝Σｖ3，ｂ＝Σｖ4，ｃ＝Σｖ5

とおくと

　　πａ＋２πｂ／３＋πｃ／３＝４π

　　ａ＋２ｂ／３＋ｃ／３＝４

となる．

　すべての可能な整数解（ａ，ｂ，ｃ）のリストは，

　　　ａ　　　　　　ｂ　　　　　　ｃ　　　　　　　（ｖ，ｅ，ｆ）

　　　４　　　　　　０　　　　　　０　　　　　○　（４，６，４）

　　　３　　　　　　１　　　　　　１　　　　　×

　　　３　　　　　　０　　　　　　３　　　　　×

　　　２　　　　　　３　　　　　　０　　　　　○　（５，９，６）

　　　２　　　　　　２　　　　　　２　　　　　×

　　　２　　　　　　１　　　　　　４　　　　　×

　　　２　　　　　　０　　　　　　６　　　　　×

　　　１　　　　　　４　　　　　　１　　　　　×

　　　１　　　　　　３　　　　　　３　　　　　×

　　　１　　　　　　２　　　　　　５　　　　　×

　　　１　　　　　　１　　　　　　７　　　　　×

　　　１　　　　　　０　　　　　　９　　　　　×

　　　０　　　　　　６　　　　　　０　　　　　○　（６，１２，８）

　　　０　　　　　　５　　　　　　２　　　　　○　（７，１５，１０）

　　　０　　　　　　４　　　　　　４　　　　　○　（８，１８，１２）

　　　０　　　　　　３　　　　　　６　　　　　○　（９，２１，１４）

　　　０　　　　　　２　　　　　　８　　　　　○　（１０，２４，１６）

　　　０　　　　　　１　　　　　１０　　　　　×

　　　０　　　　　　０　　　　　１２　　　　　○　（１２，３０，２０）

であるが，ｖ3とｖ5は隣接しないことよりａ＞０→ａ＋ｂ≧４，ｃ＞０→ｂ＋ｃ≧６，ａ＝１は不可能であること，（ａ，ｂ，ｃ）＝（０，１，１０）は不可能であることより，不可能なケースを除外することができる．

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