数え上げの講演をもう１題。

ヨハネス・シェンケ先生は自作のプログラムでデルタ多面体の数え上げ問題に取り組まれた。

凸多面体に限定せず、かつ、正四面体を張り付ける形での拡大を認めない場合、元となる原始デルタ多面体は数種類に限定された。この条件で数え上げを行うと、

頂点数９の場合、4通り

頂点数10の場合、12通り、などなど

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　すべての面が正三角形で構成されている立体をデルタ多面体（正三角面体）といいます．結論を先にいうと，正３角形ばかりを集めると４面体から２０面体まで，１８面体以外の８種類すべての偶数多面体ができあがります．そのうち，正４面体，正８面体，正２０面体は正多面体にも分類されるのですが，デルタ多面体はそれらを含めて全部で８種類あることがわかりました．

　正多面体でない５個のうち，２個は重角錐（ｆ＝６，ｆ＝１０）ですが，三角柱の正方形面に四角錐を貼り付けたもの（ｆ＝１４），正方反角柱の正方形面に四角を貼り付けたもの（ｆ＝１６），コクセターにより双子の１２面体，ジョンソンにより歪両楔体と呼ばれるもの（ｆ＝１２）があります．

　逆にいうと，もし多面体の各面が正三角形ならば８つの多面体の中のどれかひとつであるということになります．同様に，正方形１種類では立方体のみ，正５角形１種類では正１２面体のみが得られ，正６角形以上の正多角形ばかりでは凸多面体はできません．結局，１種類の正多角形でできる凸多面体は合計１０種類あることになります．

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【１】オイラーの定理（デルタ多面体の必要条件）

　３次元凸多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２　　（オイラーの多面体定理）

が成り立ちます．これは３次元立体について，０次元の特性数であるｖ，１次元の特性数であるｅ，２次元の特性数であるｆの関係を述べたものと解釈され，最も美しい数学の１０大定理の１つに挙げられるものです．

　また，正則な多面体とはその面が正多角形で，どの面にも同じ数の面が集まっている凸多面体のことで，正多面体では

　　ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅ

でしたが，正則とは限らない一般の多面体では

　　Σｐi＝ｐ1＋・・・＋ｐf＝２ｅ，

　　Σｑi＝ｑ1＋・・・＋ｑv＝２ｅ

となります．

　ｐi＝３，３≦ｑi≦５ですから

　　３ｆ＝２ｅ　　　（ｆは偶数）

　　３ｖ≦２ｅ≦５ｖ

これをオイラーの多面体定理

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

に代入すると

　　６≦ｅ≦３０

　これより

　　４≦ｆ≦２０，（３≦ｖ≦２０）

が得られます．３ｆ＝２ｅよりｆは偶数ですから，４面体から２０面体までの偶数多面体がデルタ多面体の候補となります．

　　　ｆ　　　　　　ｅ　　　　　　ｖ

　　　４　　　　　　６　　　　　　４

　　　６　　　　　　９　　　　　　５

　　　８　　　　　１２　　　　　　６

　　１０　　　　　１５　　　　　　７

　　１２　　　　　１８　　　　　　８

　　１４　　　　　２１　　　　　　９

　　１６　　　　　２４　　　　　１０

　　１８　　　　　２７　　　　　１１

　　２０　　　　　３０　　　　　１２

　３次元では，オイラーの多面体公式

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

以外に

　　ｆ≦２ｖ−４，ｖ≦２ｆ−４

を満たせばよいことが証明されています（シュタイニッツ，１９０６年）．デルタ多面体では，これ以上面数ｆを大きくできないという

　　ｆ≦２ｖ−４

の上限に達していることも理解されます．

　なお，これらの式の頂点ｖと面ｆの対称性により，ｆ面凸多面体とｖ点凸多面体は同数になるのですが，「４面体は４つの頂点と４つの面から構成されるので，頂点数を加えていうと，４点４面体である．５面体には４角錐（５点５面体）と３角柱（６点５面体）がある．６面体には５点６面体が１種類，６点６面体，７点６面体，８点６面体が２種類ずつの合計７種類ある．以下，７面体には３４種類，８面体には２５７種類，９面体には２６０６種類ある．

　見方を変えて，凸多面体を頂点数で分類すると，４点多面体は１種類，５点多面体は２種類，６点多面体は７種類，７点多面体は３４種類，８点多面体は２５７種類，９点多面体は２６０６種類，１０点多面体は３２３００種類ある．」・・・両者で同じ数値が出現していることに気づかれたかと思います．

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