数え上げの講演をもう１題。

ヨハネス・シェンケ先生は自作のプログラムでデルタ多面体の数え上げ問題に取り組まれた。

凸多面体に限定せず、かつ、正四面体を張り付ける形での拡大を認めない場合、元となる原始デルタ多面体は数種類に限定された。この条件で数え上げを行うと、

頂点数９の場合、4通り

頂点数10の場合、12通り、などなど

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【１】デルタ多面体（必要条件）

　３次元凸多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２　　（オイラーの多面体定理）

が成り立ちます．これは３次元立体について，０次元の特性数であるｖ，１次元の特性数であるｅ，２次元の特性数であるｆの関係を述べたものと解釈され，最も美しい数学の１０大定理の１つに挙げられるものです．

　また，正則な多面体とはその面が正多角形で，どの面にも同じ数の面が集まっている凸多面体のことで，正多面体では

　　ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅ

でしたが，正則とは限らない一般の多面体では

　　Σｐi＝ｐ1＋・・・＋ｐf＝２ｅ，

　　Σｑi＝ｑ1＋・・・＋ｑv＝２ｅ

となります．

　ｐi＝３，３≦ｑi≦５ですから

　　３ｆ＝２ｅ　　　（ｆは偶数）

　　３ｖ≦２ｅ≦５ｖ

これをオイラーの多面体定理

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

に代入すると

　　６≦ｅ≦３０

　これより

　　４≦ｆ≦２０，（３≦ｖ≦２０）

が得られます．３ｆ＝２ｅよりｆは偶数ですから，４面体から２０面体までの偶数多面体がデルタ多面体の候補となります．

　　　ｆ　　　　　　ｅ　　　　　　ｖ

　　　４　　　　　　６　　　　　　４

　　　６　　　　　　９　　　　　　５

　　　８　　　　　１２　　　　　　６

　　１０　　　　　１５　　　　　　７

　　１２　　　　　１８　　　　　　８

　　１４　　　　　２１　　　　　　９

　　１６　　　　　２４　　　　　１０

　　１８　　　　　２７　　　　　１１

　　２０　　　　　３０　　　　　１２

　３次元では，オイラーの多面体公式

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

以外に

　　ｆ≦２ｖ−４，ｖ≦２ｆ−４

を満たせばよいことが証明されています（シュタイニッツ，１９０６年）．デルタ多面体では，これ以上面数ｆを大きくできないという

　　ｆ≦２ｖ−４

の上限に達していることも理解されます．

　なお，これらの式の頂点ｖと面ｆの対称性により，ｆ面凸多面体とｖ点凸多面体は同数になるのですが，「４面体は４つの頂点と４つの面から構成されるので，頂点数を加えていうと，４点４面体である．５面体には４角錐（５点５面体）と３角柱（６点５面体）がある．６面体には５点６面体が１種類，６点６面体，７点６面体，８点６面体が２種類ずつの合計７種類ある．以下，７面体には３４種類，８面体には２５７種類，９面体には２６６種類ある．

　見方を変えて，凸多面体を頂点数で分類すると，４点多面体は１種類，５点多面体は２種類，６点多面体は７種類，７点多面体は３４種類，８点多面体は２５７種類，９点多面体は２６６種類，１０点多面体は３２３００種類ある．」・・・両者で同じ数値が出現していることに気づかれたかと思います．

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