1/p^jq^j=1/(p+q)^j(1/p^j+1/q^j)+a/(p+q)^(j+1)(1/p^(j-1)+1/q^(j-1))+・・・+b/(p+q)^(2j-1)(1/p^(1)+1/q^(1)) となるようであるが係数a,b,・・・はいかに？

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1

1,2

1,3,6

1,4,10,20はベル数にもスターリング数にもなっていないが、よく見るとパスカルの三角形の中に現れている。

したがって、次は

1,5,15,35,70

になるはずである。

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1/p^5q^5=1/(p+q)^5(1/p^5+1/q^5)+5/(p+q)^6(1/p^4+1/q^4)+15/(p+q)^7(1/p^3+1/q^3)+35/(p+q)^8(1/p^2+1/q^2)+70/(p+q)^9(1/p+1/q)

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一般には

1/p^jq^j=(j-1,0)/(p+q)^j(1/p^j+1/q^j)+(j,1)/(p+q)^(j+1)(1/p^(j-1)+1/q^(j-1))+(j+2,2)/(p+q)^(j+1)(1/p^(j-1)+1/q^(j-1))・・・+(j+(j-1),j-1)/(p+q)^(2j-1)(1/p^(1)+1/q^(1))

になると思われる。

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