■ある恒等式（その１６）
1/pq=1/(p+q)・(1/p+1/q)
1/p^2q^2=1/(p+q)^2・(1/p^2+1/q^2)+2/(p+q)^3・(1/p+1/q)
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
直接確かめることができる
1/(p+q)・(1/p+1/q)=1/(p+q)・(p+q)/pq=1/pq
1/(p+q)^2・(1/p^2+1/q^2)+1/(p+q)^3・(1/p+1/q)=1/(p+q)^2・(p^2+q^2)/p^2q^2+2/(p+q)^3・(p+q)/pq
=1/(p+q)^2・(p^2+q^2)/p^2q^2+2/(p+q)^2・pq/p^2q^2
=1/(p+q)^2・(p^2+2pq+q^2)/p^2q^2
=1/p^2q^2
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
微分して確かめてみよう
1/pq=1/(p+q)・(1/p+1/q)をpで微分
-1/p^2q=-1/(p+q)^2・(1/p+1/q)-1/(p+q)・1/p^2
qで微分すると
1/p^2q^2=2(p+q)/(p+q)^4・(1/p+1/q)+1/(p+q)^2・1/q^2+1/(p+q)^2・1/p^2 +
=1/(p+q)^2・(1/p^2+1/q^2)+2/(p+q)^3・(1/p+1/q)
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
1/p^3q^3を求めてみたい
1/p^2q^2=1/(p+q)^2・(1/p^2+1/q^2)+2/(p+q)^3・(1/p+1/q)をpで微分
-2/p^3q^2=-2/(p+q)^3・(1/p^2+1/q^2) + 1/(p+q)^2・(-2/p^3)-6/(p+q)^4 ・(1/p+1/q) +2/(p+q)^3・(-1/p^2)
-2/p^3q^2=1/(p+q)^3・(-2/p^2-2/q^2) + 1/(p+q)^2・(-2/p^3)-6/(p+q)^4 ・(1/p+1/q) +1/(p+q)^3・(-2/p^2)
-2/p^3q^2=-1/(p+q)^3・(4/p^2+2/q^2) + 1/(p+q)^2・(-2/p^3)-1/(p+q)^4 ・(6/p+6/q)
qで微分すると
4/p^3q^3=3/(p+q)^4・(4/p^2+2/q^2) -1/(p+q)^3・(-4/q^3) -2/(p+q)^3・(-2/p^3) +4/(p+q)^5 ・(6/p+6/q) -1/(p+q)^4 ・(-6/q^2)
4/p^3q^3=1/(p+q)^4・(12/p^2+6/q^2) +1/(p+q)^3・(4/q^3) +1/(p+q)^3・(4/p^3) +4/(p+q)^5 ・(6/p+6/q) +1/(p+q)^4 ・(6/q^2)
4/p^3q^3=1/(p+q)^4・(12/p^2+12/q^2) +1/(p+q)^3・(4/p^3+4/q^3) +1/(p+q)^5 ・(24/p+24/q)
1/p^3q^3=3/(p+q)^4・(1/p^2+1/q^2) +1/(p+q)^3・(1/p^3+1/q^3) +6/(p+q)^5 ・(1/p+1/q)
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
検算
3(p+q)/(p+q)^5・(p^2+q^2)/p^2q^2 +(p+q)^2/(p+q)^5・(p^3+q^3)/p^3q^3 +6/(p+q)^5 ・(p+q)/pq
3(p+q)/(p+q)^5・pq(p^2+q^2)/p^3q^3 +(p+q)^2/(p+q)^5・(p^3+q^3)/p^3q^3 +6/(p+q)^5 ・p^2q^2(p+q)/p^3q^3
3(p+q)pq(p^2+q^2)+(p+q)^2・(p^3+q^3)+6・p^2q^2(p+q)=(p+q)^5になればよい
3(p^2q+pq^2)(p^2+q^2)+(p^+2pq+q^2)・(p^3+q^3)+6p^3q^2+6p^2q^3
=3p^4q+3p^2q^3+3p^3q^2+3pq^4+p^5+p^2q^3+2p^4q+2pq^4+p^3q^2+q^5+6p^3q^2+6p^2q^3
=p^5+5p^4q+10p^3q^2+10p^2q^3+5pq^4+q^5=(p+q)^5
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
1/p^jq^j=1/(p+q)^j(1/p^j+1/q^j)+a/(p+q)^(j+1)(1/p^(j-1)+1/q^(j-1))+・・・+b/(p+q)^(2j-1)(1/p^(1)+1/q^(1))
となるようであるが係数a,b,・・・はいかに？
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
p=q=1として未定係数法を使うのが手っ取り早そうだが・・・。
1/pq=a/(p+q)・(1/p+1/q)
1=a/2・２,a=1
1/p^2q^2=a/(p+q)^2・(1/p^2+1/q^2)+b/(p+q)^3・(1/p+1/q)
1=a/4・2+b/8・2
a=1とすれば1=1/2+b/4,b=2
1/p^3q^3=1/(p+q)^3・(1/p^3+1/q^3)+ a/(p+q)^4・(1/p^2+1/q^2)+b/(p+q)^5 ・(1/p+1/q)
p=q=1
1=1/8・2+a/16・2+b/32・2=1/4+a/8+b/16
16＝4+2a+ｂ
p=q=2
1/4^3=1/4^3・1/4+a/4^4・1/2+b/4^5・1
16=4+2a+b,12=2a+b
p=2,q=1
1/2^3=1/3^3・(1/2^3+1)+a/3^4・(1/2^2+1)+b/3^5・(1/2+1)
3^5/2^3=3^2・(1/2^3+1)+3a・(1/2^2+1)+b・(1/2+1)
3^5=9(1+8)+3a(2+8)+12b
243=81+30a+12b,162=30a+12b,81=15a+6b, 27=5a+2b,a=3,b=6
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
1/p^4q^4=1/(p+q)^4・(1/p^4+1/q^4)+4/(p+q)^5・(1/p^3+1/q^3) +10/(p+q)^6・(1/p^2+1/q^2)
+20/(p+q)^7 ・(1/p+1/q)
期待に反し、1,4,10,20であった。1，4は既知として未定係数法を使うと・・・
1/p^4q^4=1/(p+q)^4・(1/p^4+1/q^4)+4/(p+q)^5・(1/p^3+1/q^3) +a/(p+q)^6・(1/p^2+1/q^2)
+b/(p+q)^7 ・(1/p+1/q)
p=q=1
1=1/16・2+4/32・2+a/64・2+b/128・2
64＝8+16+2a+ｂ,40=2a+b
p=2,q=1
1/2^4=1/3^4(1/2^4+1)+4/3^5(1/2^3+1)+a/3^6(1/2^2+1)+b/3^7(1/2+1)
3^7/2^4=3^3(1/2^4+1)+4・3^2(1/2^3+1)+3a(1/2^2+1)+b(1/2+1)
3^7=3^3(1+2^4)+4・3^2(2+2^4)+3a(2^2+2^4)+b(2^3+2^4)
2187=27(17)+36(18)+3a(20)+b(24)
2187=459+648+60a+24b=1107+60a+24(40-2a)
2187=1107+960+12a
120=12a,a=10,b=20
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
