1/pq=1/(p+q)・(1/p+1/q)

1/p^2q^2=1/(p+q)^2・(1/p^2+1/q^2)+2/(p+q)^3・(1/p+1/q)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

直接確かめることができる

1/(p+q)・(1/p+1/q)=1/(p+q)・(p+q)/pq=1/pq

1/(p+q)^2・(1/p^2+1/q^2)+1/(p+q)^3・(1/p+1/q)=1/(p+q)^2・(p^2+q^2)/p^2q^2+2/(p+q)^3・(p+q)/pq

=1/(p+q)^2・(p^2+q^2)/p^2q^2+2/(p+q)^2・pq/p^2q^2

=1/(p+q)^2・(p^2+2pq+q^2)/p^2q^2

=1/p^2q^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

微分して確かめてみよう

1/pq=1/(p+q)・(1/p+1/q)をpで微分

-1/p^2q=-1/(p+q)^2・(1/p+1/q)-1/(p+q)・1/p^2

qで微分すると

1/p^2q^2=2(p+q)/(p+q)^4・(1/p+1/q)+1/(p+q)^2・1/q^2+1/(p+q)^2・1/p^2　　　　　　　　　　　　　+

=1/(p+q)^2・(1/p^2+1/q^2)+2/(p+q)^3・(1/p+1/q)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

1/p^3q^3を求めてみたい

1/p^2q^2=1/(p+q)^2・(1/p^2+1/q^2)+2/(p+q)^3・(1/p+1/q)をpで微分

-2/p^3q^2=-2/(p+q)^3・(1/p^2+1/q^2) + 1/(p+q)^2・(-2/p^3)-6/(p+q)^4 ・(1/p+1/q) +2/(p+q)^3・(-1/p^2)

-2/p^3q^2=1/(p+q)^3・(-2/p^2-2/q^2) + 1/(p+q)^2・(-2/p^3)-6/(p+q)^4 ・(1/p+1/q) +1/(p+q)^3・(-2/p^2)

-2/p^3q^2=-1/(p+q)^3・(4/p^2+2/q^2) + 1/(p+q)^2・(-2/p^3)-1/(p+q)^4 ・(6/p+6/q)

qで微分すると

4/p^3q^3=3/(p+q)^4・(4/p^2+2/q^2) -1/(p+q)^3・(-4/q^3) -2/(p+q)^3・(-2/p^3) +4/(p+q)^5 ・(6/p+6/q) -1/(p+q)^4 ・(-6/q^2)

4/p^3q^3=1/(p+q)^4・(12/p^2+6/q^2) +1/(p+q)^3・(4/q^3) +1/(p+q)^3・(4/p^3) +4/(p+q)^5 ・(6/p+6/q) +1/(p+q)^4 ・(6/q^2)

4/p^3q^3=1/(p+q)^4・(12/p^2+12/q^2) +1/(p+q)^3・(4/p^3+4/q^3) +1/(p+q)^5 ・(24/p+24/q)

1/p^3q^3=3/(p+q)^4・(1/p^2+1/q^2) +1/(p+q)^3・(1/p^3+1/q^3) +6/(p+q)^5 ・(1/p+1/q)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

検算

3(p+q)/(p+q)^5・(p^2+q^2)/p^2q^2 +(p+q)^2/(p+q)^5・(p^3+q^3)/p^3q^3 +6/(p+q)^5 ・(p+q)/pq

3(p+q)/(p+q)^5・pq(p^2+q^2)/p^3q^3 +(p+q)^2/(p+q)^5・(p^3+q^3)/p^3q^3 +6/(p+q)^5 ・p^2q^2(p+q)/p^3q^3

3(p+q)pq(p^2+q^2)+(p+q)^2・(p^3+q^3)+6・p^2q^2(p+q)=(p+q)^5になればよい

3(p^2q+pq^2)(p^2+q^2)+(p^+2pq+q^2)・(p^3+q^3)+6p^3q^2+6p^2q^3

=3p^4q+3p^2q^3+3p^3q^2+3pq^4+p^5+p^2q^3+2p^4q+2pq^4+p^3q^2+q^5+6p^3q^2+6p^2q^3

=p^5+5p^4q+10p^3q^2+10p^2q^3+5pq^4+q^5=(p+q)^5

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

1/p^jq^j=1/(p+q)^j(1/p^j+1/q^j)+a/(p+q)^(j+1)(1/p^(j-1)+1/q^(j-1))+・・・+b/(p+q)^(2j-1)(1/p^(1)+1/q^(1)) となるようであるが係数a,b,・・・はいかに？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

p=q=1として未定係数法を使うのが手っ取り早そうだが・・・。

1/pq=a/(p+q)・(1/p+1/q)

1=a/2・２,a=1

1/p^2q^2=a/(p+q)^2・(1/p^2+1/q^2)+b/(p+q)^3・(1/p+1/q)

1=a/4・2+b/8・2

a=1とすれば1=1/2+b/4,b=2

1/p^3q^3=1/(p+q)^3・(1/p^3+1/q^3)+ a/(p+q)^4・(1/p^2+1/q^2)+b/(p+q)^5 ・(1/p+1/q)

p=q=1

1=1/8・2+a/16・2+b/32・2=1/4+a/8+b/16

16＝4+2a+ｂ

p=q=2

1/4^3=1/4^3・1/4+a/4^4・1/2+b/4^5・1

16=4+2a+b,12=2a+b

p=2,q=1

1/2^3=1/3^3・(1/2^3+1)+a/3^4・(1/2^2+1)+b/3^5・(1/2+1)

3^5/2^3=3^2・(1/2^3+1)+3a・(1/2^2+1)+b・(1/2+1)

3^5=9(1+8)+3a(2+8)+12b

243=81+30a+12b,162=30a+12b,81=15a+6b, 27=5a+2b,a=3,b=6

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝