オイラーの恒等式では3変数の場合が取り上げられているが,4変数ではどうだろうか? その前に3変数の場合について,都合上
F={a^k(b-c)-b^k(a-c)+c^k(a-b)}/(a-b)(a-c)(b-c)
と書き直しておく.
2変数の場合,差積は1次交代式(b-a)であるから
F=a^k/(a-b)-b^k/(a-b)=(a^k-b^k)/(a-b)
Fk=A(a-b)とすると
A=a^(k-1)+a^(k-2)b+・・・+ab^(k-1)+b^k
すなわち,k-1次の同次項が重複なくちょうど1回ずつ現れ,その項数は
2Hk-1=kCk-1=k
となる.
k=1のとき,F=1 (項数1)
k=2のとき,F=a+b (項数2)
k=3のとき,F=a^2+ab+b^2 (項数3)
k=4のとき,F=a^3+a^2b+ab^2+b^3 (項数4)
4変数の場合,差積は6次交代式
(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)
また,
Fk=a^k(b-c)(b-d)(c-d)-b^k(a-c)(a-d)(c-d)+c^k(a-b)(a-d)(b-d)-d^k(a-b)(a-c)(b-c)
とかなり厳めしくなるが,Fkは差積と対称式Aの積
Fk=A(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)
で表されるはずであるから,k=0,1,2のときF=0,k=3のときFは定数となることがわかる.
項数は
4Hk-3=kCk-3=k(k-1)(k-2)/6
k=3のとき,F=1 (項数1)
k=4のとき,F=a+b+c+d (項数4)
k=5のとき,F=a^2+a(b+c+d)+b^2+b(c+d)+c^2+cd+d^2 (項数10)
k=6のとき,F=a^3+a^2(b+c+d)+a(b^2+c^2+d^2+bc+cd+da)+b^3+b^2(c+d)+b(c^2+cd+d^2)+c^3+c^2d+cd^2+d^3 (項数20)
次にk=-1,-2,-3,・・・としてみたらどうだろうか? k=-1の場合だけを記すが,
2変数の場合,F=-1/ab
3変数の場合,F= 1/abc
4変数の場合,F=-1/abcd
この分数式に数学的背景があるとは思いもしなかったが,すべての同時項(係数1)が出現するなど意外な事実があることを知った.オイラーの恒等式と関係していることを知って少しは楽しくなっただろうか.
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