ベルヌーイ数の分母の構造を決めるのがクラウゼン・フォン・シュタウトの定理である。

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【２】クラウゼン・フォン・シュタウトの定理

　ベルヌーイ数は分数からなっていますがその分母を求めることは，１８４０年，クラウセンとフォン・シュタウトの定理により，厳密に求めることが容易になりました。B2nを整数−１/素数−１/素数−・・・−１/素数の形に表してみます。

B2=1/6=1-1/2-1/3

B4=-1/30=1-1/2-1/3-1/5

B6=-1/42=1-1/2-1/3-1/7

B8=-1/30=1-1/2-1/3-1/5

B10=5/66=1-1/2-1/3-1/11

B12=-691/2730=1-1/2-1/3-1/5-1/7-1/13

B14=7/6=2-1/2-1/3

B16=-3617/510=-6-1/2-1/3-1/5-1/17

B18=43867/798=56-1/2-1/3-1/7-1/19

B20=-174611/330=-528-1/2-1/3-1/5-1/11

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分母の素数は2ｎの「約数+1」が素数の場合になっています。たとえば、B12では

12の約数：1,2,3,4,6,12

約数+1：2,3,4,5,7,13

約数+1が素数：2,3,5,7,13→B12=-691/2730=1-1/2-1/3-1/5-1/7-1/13

したがって、ベルヌーイ数の分母は2ｎの約数より１大きい素数の積となっているのです。（一方、分子はｎに対して急激に増加するため，計算はずっと難しかしくなります．）

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(-1)^192^40B40/40＝2^36・137616929・1897170067619/3・5^2・11・41

(p-1)|40なる奇素数は3，5，11，41の4つで、

(-1)^192^40B40/40＝-2/3-13/5^2-3/11-1/41+530403340691311480898486893

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