正多胞体を２次元に図示する場合，ひとつにはなるべく多くの頂点が重なるように配置する方法と，もうひとつには頂点がなるべく重ならないように配置する２つの方法がある．

　ここでは　輪郭が正ｍ角形でｍが最大となるような座標配置と考えると，

　　正単体→ｍ＝ｎ＋１

　　立方体・正軸体→ｍ＝２ｎ

　　Ｆ4→ｍ＝２４，Ｈ3→ｍ＝１０，Ｈ4→ｍ＝３０

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【１】ねじれ角

　これらのねじれ角が，正単体に関しては第２種チェビシェフ多項式ｓｉｎ（ｎ＋１）θ／ｓｉｎθ＝０，立方体・正軸体に関しては第１種チェビシェフ多項式ｃｏｓｎθ＝０，また，特殊型としてαnに関してはｔａｎ（ｎ＋１）θ＝ｎｔａｎθで与えられることはコラム「サマーヴィルの等面四面体」で述べたとおりである．

　固有値の決定に関しては

［１］正単体の場合，第２種チェビシェフ多項式を用いて

　　Ｐn（λ）＝Ｕn（λ）／２^n＝０

［２］正軸体，立方体の場合，第１種チェビシェフ多項式を用いて

　　Ｐn（λ）＝Ｔn（λ）／２^n＝０

と書き表すことができる．

　　［ｘ　1/2 ０　０　　　０　］ ［２ｘ　１　　０　　０ 　　　０］

　　［1/2 ｘ　1/2 ０　　　　　］ ［１　２ｘ　　１　　０ 　　　　］

２^n［０　1/2 ｘ　1/2 　 　］＝［０　　１　２ｘ　　１　　 　 ］

［０　０　1/2 ｘ 　　　　］ ［０　　０　　１　２ｘ　 　　　］

　　［　　　　　　　 ｘ 1/2 ］ ［　　　　　　　　　　２ｘ　 １］

　　［０　　　　　 　1/2 ｘ ］ ［０　　　　　 　　　　１ ２ｘ］

＝ｓｉｎ（ｎ＋１）θ／ｓｉｎθ＝Ｕn（ｘ）

は第２種チェビシェフ多項式の行列式表示となる．

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［ｘ　　１　　０　　０ 　　　０］

［１　２ｘ　　１　　０ 　　　　］

［０　　１　２ｘ　　１　　 　 ］

［０　　０　　１　２ｘ　 　　　］

［　　　　　　　　　　２ｘ　 １］

［０　　　　　 　　　　１ ２ｘ］

＝ｃｏｓｎθ＝Ｔn（ｘ）

は第１種チェビシェフ多項式の行列式表示となる．

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［まとめ］これらのことからこれらの解が広義のポアンカレ多項式の解の実部，虚部として与えられることが理解されるのである．

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