【３】佐藤予想

　ところで，誤差項Ｍpはｐに比べて小さく，

　　｜Ｍp｜＝｜c(p)｜≦２√ｐ

を満たすことが証明されています（ハッセの定理，１９３３年）．

　そこで，

　　ｃｏｓθp＝c(p)／２√ｐ とおくと，数論における楕円曲線のヴェイユ・ゼータに関する佐藤（幹夫）予想とは，楕円曲線Ｅの位数の分布に関するもので，Ｅが虚数乗法をもたないとき，偏角θpが任意に固定された０≦ａ≦ｂ≦πに対して，偏角が［ａ，ｂ］となる素数密度：

　　＃｛ｐ≦ｘ；ａ＜θp＜ｂ｝／π（ｘ）　〜　2/π∫(a,b)sin^2θdθ

すなわち，その角分布はｓｉｎ^2θに比例するであろうというものです．

　角分布がsin^2θに比例するという佐藤予想の最初の記述は，資料によると，昭和３８年（１９６３年）のことなのですが，ｓｉｎ^2予想でｔ＝ｃｏｓθとおけば，

　　偏角が［ａ，ｂ］となる素数密度　〜　2/π∫(α,β)√(1-t^2)dt

となりますから，これも１種の半円則となっていることがわかります．

　佐藤予想には，多くの言い換えがあって，

(1)ｘ^2＋Ｍpｘ＋ｐ＝０

の解を

　　√ｐ（ｃｏｓθ±ｉｓｉｎθ）

とするとき，その角分布はｓｉｎ^2θに比例する

(2)Ｍp／２√ｐが√（１−ｘ^2）に比例する

(3)ハミルトンの４元数環（フルヴィッツの整数）：（ａ＋ｂｉ＋ｃｊ＋ｄｋ）／２の半径ｐの格子点３次元球面：ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2＝４ｐの一様分布の実軸方向への射影である

といっても同じことです．

　佐藤予想（佐藤・テート予想）は現在も未解決で，リーマン予想に匹敵する予想であるといわれています．

　なお，佐藤予想とは一見無関係に見えますが，Ｍpが−２√ｐから＋２√ｐまでの区間をまんべんなく広がって分布していることに則って，巨大な整数の素因数分解に楕円曲線を応用する方法がレンストラによって発見され，最も強力な素因数分解法になっています．

　現在，大きな素数を素因数分解するのに有用なアルゴリズムとして「楕円曲線法」や「平方ふるい法」とが知られています．楕円曲線はフェルマー予想の解決で注目された曲線で，数論研究に非常に役立っています．また，暗号理論も楕円曲線の重要な応用分野になっています．

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