【２】佐藤・テイト予想

　一方，デデキントのイータ関数，

　　η(z)=q^(1/24)Π(1-q^n),q=exp(2πiz)

において，関数

　　F(z)=η(z)^2η(11z)^2

　　 =qΠ(1-q^n)^2(1-q^11n)^2=q-2q^2-q^3+2q^4+q^5+2q^6-2q^7+･･･

　　 =c(n)q^n,q=exp(2πiz)

を考えます．c(n)はF(z)のフーリエ係数です．

　　c(1)=1,c(2)=-2,c(3)=1,c(4)=2,c(5)=1,c(6)=2,c(7)=-2,･･･

　F(z)は，

　　ad-bc=1,c=0(mod 11)

なる任意の整数a,b,c,dに対して

　　F(az+b/cz+d)=(cz+d)^2F(z)

を満たします．このとき，F(z)は重さ２の保型形式をもつといいます．

　また，F(z)のフーリエ係数c(n)を使って，ディリクレ級数

　　φ(s)=Σc(n)/n^s

を定義します．ディリクレ級数はリーマンのゼータ関数

　　ζ(s)=Σ1/n^s

を一般化したものです．

　楕円曲線ＥのＬ関数（後述）

　　L(s;Ｅ)=Π{1-c(p)p^(-s)+p^(1-2s)}^(-1)

の積Πは１１以外のすべての素数をわたります．ラマヌジャンは，このとき，

　　L(s;Ｅ)=φ(s)

を予想しています．この予想はヘッケによって証明されました（１９３７年）．

　また，c(p)はｐに比べて小さく，

　　｜c(p)｜≦２√ｐ

を満たすことが証明されています（アイヒラー，１９５４年）．

　そこで，

　　ｃｏｓθp＝c(p)／２√ｐ，c(p)=２√ｐｃｏｓθp

とおくと，数論における楕円曲線のヴェイユ・ゼータに関する佐藤（幹夫）予想とは，楕円曲線Ｅの位数の分布に関するもので，Ｅが虚数乗法をもたないとき，偏角θpが任意に固定された０≦ａ≦ｂ≦πに対して，偏角が［ａ，ｂ］となる素数密度：

　　＃｛ｐ≦ｘ；ａ＜θp＜ｂ｝／π（ｘ）　〜　2/π∫(a,b)sin^2θdθ

すなわち，その角分布はｓｉｎ^2θに比例するであろうというものです．

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