任意に固定された０≦ａ≦ｂ≦πに対して，偏角θpが［ａ，ｂ］となる素数密度は

　　2/π∫(a,b)sin^2θdθ

で与えられるだろうという佐藤幹夫予想がたてられています．すなわち，θp＝π／２のあたりに多く分布していることを予想しているというわけです．

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【４】佐藤・テイト予想の解決

　角分布がsin^2θに比例するという佐藤予想の最初の記述は，資料によると，昭和３８年（１９６３年）のことなのですが，ｓｉｎ^2予想でｔ＝ｃｏｓθとおけば，

　　偏角が［ａ，ｂ］となる素数密度　〜　2/π∫(α,β)√(1-t^2)dt

となりますから，これも１種の半円則となっていることがわかります．

　佐藤・テイト予想には，多くの言い換えがあって，

(1)ｘ^2＋Ｍpｘ＋ｐ＝０

の解を

　　ｘ＝√ｐｅｘｐ（ｉθ）＝√ｐ（ｃｏｓθ±ｉｓｉｎθ）

とするとき，その角分布はｓｉｎ^2θに比例する

(2)Ｍp／２√ｐが√（１−ｘ^2）に比例する

(3)ハミルトンの４元数環（フルヴィッツの整数）：（ａ＋ｂｉ＋ｃｊ＋ｄｋ）／２の半径ｐの格子点３次元球面：ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2＝４ｐの一様分布の実軸方向への射影である

といっても同じことです．

　佐藤予想は現在も未解決で，リーマン予想に匹敵する予想であるといわれています．ところが，驚いたことに２００６年になって，ハーバード大学のリチャード・テイラーによって佐藤予想の楕円曲線版（佐藤・テイト予想と呼ばれる）が証明されました．佐藤予想そのものの証明ではないにせよ，１００年に一度の大発展といえるのです．

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［３］直交性

　　∫(-1,1)Um(x)Un(x)（１−ｘ^2）^1/2ｄｘ

　＝０　　　　　（その他）

　＝π／２　　　（ｍ＝ｎ≧０）

［４］母関数

　　ΣUn(x)ｔ^n＝１／（ｔ^2−２ｘｔ＋１）　　（x≠０）

μ(x)=2/π・（１−ｘ^2）^1/2に関する直交多項式は第２種チェビシェフ多項式

Un(x)=Un(cosθ)=sin(n+1)x/sinx=Π(x-cosjπ/(n+1))

に他ならない。

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佐藤・テイト予想は任意の自然数ｍに対して

Σ(2cosθp)^2m〜1/(m+1)・(2m,m)π(x)

ΣUm(cosθp)=o(π(x))

が成立することと同値である

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