【３】チェビシェフ多項式の性質

［１］最良近似

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^n＋ｐ1ｘ^n-1＋・・・＋ｐn

　　Ｌ＝ｍａｘ｜ｆ（ｘ）｜

とおく．そのとき，区間［−１，１］上でＬを最小にするのは

　　ｆ（ｘ）＝Ｔn(x)／２^n-1

ただひとつで，Ｌ＝１／２^n-1が成立する．

［２］漸化式

　　Ｔn（ｘ）＝２ｘＴn-1（ｘ）−Ｔn-2（ｘ）

　　Ｕn（ｘ）＝２ｘＵn-1（ｘ）−Ｕn-2（ｘ）

［３］直交性

　　∫(-1,1)Ｔm(x)Ｔn(x)／（１−ｘ^2）^1/2ｄｘ

　＝０　　　　　（ｍ≠ｎ）

　＝π　　　　　（ｍ＝ｎ＝０）

　＝π／２　　　（ｍ＝ｎ≠０）

［４］母関数

　　Ｔ0(x)＋２ΣＴn(x)ｔ^n＝（−ｔ^2＋１）／（ｔ^2−２ｘｔ＋１）

［５］合成

　　Ｔm(Ｔn(x))＝Ｔmn(x)

［６］多項式近似定理（ワイエルシュトラス）

　閉区間［ａ，ｂ］で連続な関数をｆ（ｘ）とする．このとき

　　｜ｆ（ｘ）−ｇ（ｘ）｜＜ε

を満たす多項式ｇ（ｘ）が常に存在し，それはただひとつである．

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［３］直交性

　　∫(-1,1)Um(x)Un(x)（１−ｘ^2）^1/2ｄｘ

　＝０　　　　　（その他）

　＝π／２　　　（ｍ＝ｎ≧０）

［４］母関数

　　ΣUn(x)ｔ^n＝１／（ｔ^2−２ｘｔ＋１）　　（x≠０）

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μ(x)=2/π・（１−ｘ^2）^1/2に関する直交多項式は第２種チェビシェフ多項式

Un(x)=Un(cosθ)=sin(n+1)x/sinx=Π(x-cosjπ/(n+1))

に他ならない。

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ランダムウォークの再帰性の問題を取り上げましょう．左右に１ステップだけ確率1/2で移動し、2ｎステップ後に原点に戻る１次元酔歩の原点復帰確率は，

　　ｕ2n＝2nＣn／２^(2n)

で与えられます．ここでｕ0＝１，ｕ2n+1＝０とします．

　　u0=1,u2=1/2,u4=3/8,u6=5/16,u8=35/128,u10=63/256,u12=231/1024,

　　u14=429/2048,u16=6435/32768,u18=12155/65536,u20=46189/262144

　ｕnの母関数を

　　Ｕ（ｔ）＝Σｕnｔ^n

とおくと，ｕ2n＝2nＣn／２^(2n)ですから，この級数の項比は

　　ｕ2(n+1)ｔ^2(n+1)／ｕ2nｔ^2n=(n+1/2)*t^2/(n+1)

これより，級数Ｕ（ｔ）は超幾何級数1Ｆ0(1/2,t^2)であると同定され，

　　Ｕ（ｔ）＝1Ｆ0(1/2,t^2)＝（１−ｔ^2）^(-1/2)

であることがわかります．

μ(x)=2/π・（１−ｘ^2）^-1/2に関する直交多項式は第２種チェビシェフ多項式

Tn(x)=Tn(cosnθ)=Π(x-cosjπ/(2n))

に他ならない。

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